三角恒等式：必备公式表及其用法

恒等式与方程的区别

等式 $\sin x = \frac{1}{2}$ 只对某些特定的角成立，所以它是需要求解的方程。等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 对每个角都成立，所以它是恒等式，是可以拿来使用的工具。恒等式的作用是在不改变表达式值的前提下，把它改写成更方便的形式。

对于一个声称成立的恒等式，你总可以用数值来检验。只要它在某一个角上不成立，它就不是恒等式。如果它在几个互不相关的角上都成立，那它很可能是对的，但要确定仍需证明。这种用数值检验的习惯能发现许多符号错误，在学习过程中很值得坚持。

基本恒等式

倒数关系和商数关系用正弦和余弦来定义另外四个函数：

平方关系（毕达哥拉斯恒等式）来自单位圆的方程 $x^2 + y^2 = 1$，其中 $x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$。将它两边同除以 $\cos^2 x$ 或 $\sin^2 x$，又可得到另外两种形式：

单位圆的对称性给出了奇偶性恒等式 $\cos(-x) = \cos x$、$\sin(-x) = -\sin x$ 和 $\tan(-x) = -\tan x$，以及余角恒等式，例如 $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$。余角恒等式也解释了“余弦”这个名称的由来：余弦就是余角的正弦。单位圆指南说明了这些恒等式各自的来源。

和角与差角公式

这些公式用各个单独的角来表示两角之和或之差的三角函数。几乎所有其他恒等式都由它们推导而来。

注意余弦公式中的符号变化：两角和的余弦带的是减号。一个常见错误是认为 $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$。用 $A = B = \frac{\pi}{2}$ 检验就能看出它不成立：左边是 $\sin\pi = 0$，右边却是 2。

同理，$\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679$。

二倍角公式与降幂公式

在和角公式中令 $B = A$，就得到二倍角恒等式。利用平方关系替换 $\sin^2$ 或 $\cos^2$，余弦的二倍角公式有三种等价形式。

从后两种形式中解出平方项，就得到降幂公式，它把平方变成二倍角的一次幂。降幂公式在微积分中必不可少，因为 $\sin^2 x$ 很难直接积分。

例如，$\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$。在这些恒等式中把 $x$ 换成 $\frac{x}{2}$，就得到半角公式，例如 $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$。

如何证明恒等式

证明恒等式就是把一边一步一步地变形，直到它变成另一边。不要把它当作方程，对两边做同样的运算，因为那样就预先假定了你要证明的结论。下面这些策略在大多数情况下都适用：

1. 从较复杂的一边入手，那里可化简的内容更多。
2. 把所有函数都改写成正弦和余弦。
3. 寻找平方关系的形式，例如 $1 - \cos^2 x$，并加以替换。
4. 把分式通分合并，或者把一个分式拆成两个。
5. 当分母中出现和式时，进行因式分解，或乘以共轭式，例如 $1 + \sin x$。
6. 始终盯住目标那一边，让每一步都朝它靠近。

下面这个更简短的例子同时用到了两类公式：$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$。

用恒等式解方程

恒等式常常能把三角方程化为关于单个函数的二次方程。先解这个二次方程，再借助单位圆求出所有的角。

避免两边同除以某个三角函数，例如 $\sin x$，因为这样可能丢掉使它等于零的解。应把所有项移到一边再因式分解。

这里的因式分解步骤与普通二次方程相同；如需复习，请参阅如何解一元二次方程。

哪些恒等式需要记住

你不必把每个公式都单独背下来。记住平方关系、正弦和余弦的和角公式，以及另外四个函数的定义就够了。其余的都可以在一两行内推导出来：令 $B = A$ 由和角公式得到二倍角公式，用除法得到另外两种平方关系，从余弦二倍角公式中解出平方项得到降幂公式，再利用奇偶性恒等式由和角公式得到差角公式。

在考试压力下，会推导公式比单纯回忆公式更可靠，因为你可以边推边检查。何况许多考试本来就提供公式表，所以真正考查的能力是选择用哪个恒等式，而这只能通过大量不同类型题目的练习来获得。

常见错误

• 写成 $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ 或 $\sin 2x = 2\sin x$。
• 弄错 $\cos(A + B)$ 中的符号，它应该是减号。
• 把表示 $(\sin x)^2$ 的 $\sin^2 x$ 与 $\sin(x^2)$ 混淆。
• 像解方程那样同时对恒等式的两边进行变形。
• 方程两边同除以三角函数而丢失解。

三角恒等式计算器可以判断两个表达式是否恒等，并给出化简路径，是检验你自己证明的好方法。

恒等式在后续内容中的应用

恒等式不只是三角学章节里的练习。在微积分中，正弦的导数要借助和角公式和两个极限求出，正弦和余弦的幂的积分依赖降幂公式，而三角换元则利用 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ 来消去 $\sqrt{1 + x^2}$ 之类的根式。

在物理和工程中，把两个频率相同的波相加，得到的仍是同一频率的波，和角公式准确地说明了其中的道理。把 $a\sin x + b\cos x$ 写成 $R\sin(x + \varphi)$，其中 $R = \sqrt{a^2 + b^2}$，就能立即知道合成波的振幅。例如，$3\sin x + 4\cos x$ 的振幅是 5，所以它的最大值是 5，最小值是 $-5$。用和角公式展开 $5\sin(x + \varphi)$ 并比较系数，可得 $\cos\varphi = \frac{3}{5}$，$\sin\varphi = \frac{4}{5}$。

信号处理、计算机图形学中的旋转，以及解三角形所用的定理，都建立在同一小组公式之上。这就是为什么把它们学扎实会让你受益多年，远远超出三角学单元本身。

常见问题