余弦定理详解及例题

公式

按通常的方式标记三角形：角 $A$、$B$、$C$，它们的对边分别是 $a$、$b$、$c$。余弦定理有三种形式，每条边对应一种，它们都遵循同一个模式：

可以这样理解：一条边的平方等于另外两条边的平方和，再减去一个修正项。修正项中的角是左边那条边的对角，也就是右边两条边的夹角。当 $C = 90^\circ$ 时，$\cos C = 0$，修正项消失，只剩下 $c^2 = a^2 + b^2$。所以勾股定理是它的一个特例。

解出余弦，就得到用来求角的形式：

用坐标给出的简短证明

把顶点 $C$ 放在原点，让边 $a$ 沿 x 轴正方向放置，于是顶点 $B$ 位于 $(a, 0)$。顶点 $A$ 在角 $C$ 的方向上、与原点相距 $b$，所以它的坐标是 $(b\cos C, b\sin C)$。

边 $c$ 是从 $A$ 到 $B$ 的距离。由距离公式，$c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$。展开得 $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$，又因为 $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$，结果就是 $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$。无论 $C$ 是锐角还是钝角，这个证明都成立，因为坐标会自动处理符号。

同一个恒等式以向量形式出现时写作 $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$，这就是点积可以用来求向量夹角的原因。

求边：已知两边及其夹角

已知两边及其夹角（边角边）时，正弦定理无从下手，因为没有一条边与其对角配成一组。余弦定理则可以直接求出第三条边。

求角：已知三条边

三条边都已知（边边边）时，对每个角使用余弦形式。先求最大的角，也就是最长边的对角。如果它是钝角，它的余弦为负，而反余弦能正确处理这种情况，因为它返回的角在 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 之间。一旦知道了最大的角，另外两个角必定是锐角，所以此时即使用正弦定理收尾也不会产生多解问题。

如果三个长度不能构成三角形，公式会告诉你：算出的余弦会落在 $[-1, 1]$ 之外。对于边长 3、4 和 8，8 的对角满足 $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$，这是不可能的，与三角形不等式 $3 + 4 < 8$ 相符。

不用计算器判断锐角、直角或钝角三角形

$a^2 + b^2 - c^2$ 的符号与 $\cos C$ 的符号相同。设 $c$ 为最长边，就能快速分类：

• $c^2 < a^2 + b^2$：最大的角是锐角，所以是锐角三角形。
• $c^2 = a^2 + b^2$：是直角三角形。
• $c^2 > a^2 + b^2$：是钝角三角形。

对于边长 5、7 和 10，$100 > 74$，所以是钝角三角形，与例 3 的结论一致。对于 6、8 和 9，$81 < 100$，所以是锐角三角形。

由三边求面积：海伦公式

把余弦定理与面积公式 $\frac{1}{2}ab\sin C$ 结合起来，就得到只需要边长的海伦公式。设 $s = \frac{a + b + c}{2}$ 为半周长，则：

对于边长 5、7 和 10，$s = 11$，面积为 $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$。作为检验，$\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ 同样得到 16.25。

如何在两个定理之间选择

对于边角边和边边边这两种没有“边与对角”配对的情形，使用余弦定理。当已知一条边及其对角时，使用正弦定理。在综合题中，往往先用余弦定理，再用正弦定理收尾。解三角形指南把所有情形集中列在一处。

余弦定理的一个实际优势是，求角时从不会产生多解，因为 $-1$ 与 1 之间的每个余弦值都恰好对应 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 之间的一个角。相比之下，正弦定理无法区分一个锐角和它的钝角补角。这就是为什么许多教材建议，只要可能出现钝角，就用余弦定理求最大的角。

常见错误

• 先算 $a^2 + b^2 - 2ab$，再乘以 $\cos C$。乘法 $2ab\cos C$ 必须在减法之前进行。
• 使用的角并不是两条已知边的夹角。
• 求边时忘记在最后开平方。
• 在计算器上混用角度和弧度。
• 过早对 $c$ 进行舍入，再用舍入后的值去求角。

余弦定理计算器可以求解边角边、边边边等各种情形，并显示每一步代入过程。要复习特殊角余弦的精确值，请使用单位圆计算器。

余弦定理的应用

凡是已知两段距离及其夹角的情形，都是余弦定理问题。航海者用它计算船只沿不同航向走完两段航程后离港口有多远。工程师用它计算连接两根以已知角度相交的梁的端点所需的支撑杆或缆索长度。在机器人学中，双连杆机械臂要到达某一点时每个关节应取的角度，就是通过用余弦定理解角求出的，因为两根连杆的长度和到目标的距离都是已知的。

在数据科学中，同一个公式被用来衡量两组数字的相似程度。把每组数字看作一个向量，由点积算出的两者夹角的余弦称为余弦相似度，它被用于搜索引擎和推荐系统中。其几何原理与三角形的版本完全相同，只是维数不同。

练习题及答案

1. 两边长 4 和 6，夹角为 $120^\circ$。求第三条边。答案：由于 $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$，第三边为 $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$。
2. 求边长为 7、8 和 13 的三角形的最大角。答案：$\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$，所以这个角恰好是 $120^\circ$。
3. 边长为 9、12 和 15 的三角形是锐角、直角还是钝角三角形？答案：$81 + 144 = 225 = 15^2$，所以是直角三角形。
4. 求边长为 13、14 和 15 的三角形的面积。答案：$s = 21$，面积 $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$。

常见问题