距离公式计算器：求 2 个点之间的距离

Q: 距离公式是什么？

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)。它给出连接两点的线段长度。

Q: 距离公式和勾股定理有什么关系？

x 方向和 y 方向的差构成直角三角形的两条直角边；距离就是斜边，所以 d^2 = Δ x^2 + Δ y^2。

Q: 为什么答案是平方根？

当 Δ x^2 + Δ y^2 不是完全平方数时，精确距离是无理数。计算器会化简根式，同时给出小数值。

Q: 怎样化简距离中的平方根？

把根号下的数中最大的完全平方因数提出来。从 (1, 1) 到 (7, 7) 的距离是 √(72) = √(36 · 2) = 6√(2)。

Q: 距离公式在三维空间中也适用吗？

适用，只需再加一项：d = √(Δ x^2 + Δ y^2 + Δ z^2)。这个计算器处理的是平面上的点，所以只需输入 x 和 y 坐标。

关于距离公式计算器

距离公式就是把勾股定理用在坐标上。两点之间的横向差和纵向差是一个直角三角形的两条直角边，而距离就是它的斜边。

这个计算器会把平方根精确化简，所以从 $(−2, 1)$ 到 $(3, −3)$ 得到 $\sqrt{41}$ ，从 $(0,0)$ 到 $(1, 3)$ 得到 $\sqrt{10}$ ，而不只是一个四舍五入后的小数。

什么是距离公式？

距离公式给出平面直角坐标系中连接两点的线段长度。设两点为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ ，它们之间的横向差为 $x_2 - x_1$ ，纵向差为 $y_2 - y_1$ 。把这两段差画出来，它们就构成一个直角三角形的两条直角边，而斜边正是要测量的线段。

勾股定理告诉我们，斜边的平方等于两条直角边的平方和，再开平方就得到距离。结果总是零或正数，与先取哪个点无关，单位与坐标的单位相同。

典型的用途包括：求网格上所画三角形的边长，由圆心和圆上一点求圆的半径，以及求地图上两个地点之间的直线距离。

如何使用距离公式计算器

输入第一个点 (x₁, y₁)。
输入第二个点 (x₂, y₂)。
点击“求距离”，查看坐标差、它们的平方、平方和以及化简后的根式。

公式

距离公式

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

勾股定理

a^2 + b^2 = c^2

中点坐标公式

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

例题详解: (1, 2) 和 (4, 6)

例题计算从 (1, 2) 到 (4, 6) 的距离。坐标差为 $\Delta x = 3$ 和 $\Delta y = 4$ ，它们的平方是 9 和 16，和为 25，所以 $d = \sqrt{25} = 5$ ，这正是熟悉的 3-4-5 直角三角形。计算器还会列出中点 (2.5, 4)，并检验 $d^2$ 是否等于 $\Delta x^2 + \Delta y^2$ 。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

d = 5

我们对题目的理解

求平面上两点之间的直线距离（欧几里得距离）。

分步解答

标出两个点
$(x_1, y_1) = (1, 2),\quad (x_2, y_2) = (4, 6)$
求水平差和竖直差
$\Delta x = 3,\quad \Delta y = 4$
把两个差分别平方后相加
$(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$
开平方
$d = \sqrt{25} = 5$
中点（坐标的平均值）
$M = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2.5, 4)$

所用公式

距离公式
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
中点公式
$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

距离公式就是勾股定理，应用于以两点的水平差和竖直差为直角边的直角三角形。

验算

d² = 25 与 Δx² + Δy² = 25 相符

详细讲解

精确根式

大多数点对之间的距离都不是整数。从 (−2, 1) 到 (3, −3)，坐标差为 5 和 −4，平方和为 41，由于 41 不含平方因数，精确答案是 $\sqrt{41} \approx 6.4031242$ 。从 (1, 1) 到 (7, 7)，平方和为 72，因为 $72 = 36 \times 2$ ，计算器把根式化简为 $6\sqrt2 \approx 8.4852814$ 。当距离还要用于后续计算（例如周长或面积）时，保留精确根式很重要。

距离、中点与圆

中点是两点坐标的平均值，恰好位于线段的正中间，所以它到每个端点的距离都是 $\frac{d}{2}$ 。距离公式其实也是圆的方程：到圆心 $(h, k)$ 的距离为 $r$ 的点满足 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 。要判断一个点在圆内、圆上还是圆外，只需比较它到圆心的距离与半径的大小。

为什么平方能去掉符号

像 $\Delta y = -4$ 这样的坐标差可能是负的，这取决于两点的先后顺序，但长度不可能是负的。平方使每个差都变为非负，所以 $(-4)^2$ 和 $4^2$ 都等于 16，最后开平方得到一个正数。这也是交换两点永远不会改变答案的原因。同样的道理说明，不能简单地把 $|\Delta x| + |\Delta y|$ 相加：那是沿着棋盘状街道走过的路程，除非其中一个差为零，否则它总比直线距离长。

常见错误

忘记负的坐标差平方后是正数。
对每一项分别开平方： $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ 。
相减时把 x 坐标和 y 坐标混在一起。
坐标相减之后，忘记先平方再相加。
过早对平方根四舍五入，然后在后面的步骤中使用近似值。

小贴士

留意勾股数，例如 3-4-5 和 5-12-13，从而发现距离为整数的情形。
距离永远不会是负数，只有两点重合时才为零。
化简 $\sqrt{n}$ 时，提出最大的平方因数： $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ 。
水平或竖直的线段不需要公式：距离就是发生变化的那个坐标之差。
如果只需要比较两段长度，可以比较距离的平方，而不必开方。
保留精确形式（例如 $\sqrt{41}$ ）直到最后一步，只在最终答案中四舍五入。

常见问题

距离公式是什么？

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 。它给出连接两点的线段长度。

距离公式和勾股定理有什么关系？

x 方向和 y 方向的差构成直角三角形的两条直角边；距离就是斜边，所以 $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ 。

为什么答案是平方根？

当 $\Delta x^2 + \Delta y^2$ 不是完全平方数时，精确距离是无理数。计算器会化简根式，同时给出小数值。

求距离时，先输入哪个点有关系吗？

没有关系。每个坐标差都会被平方，所以交换两点得到的距离相同。

可以使用负数或小数坐标吗？

可以。在最后开平方之前，负数和小数都会被精确处理。

怎样同时求出中点？

分别求两个 x 坐标和两个 y 坐标的平均值。计算器会在给出距离的同时列出中点。

怎样化简距离中的平方根？

把根号下的数中最大的完全平方因数提出来。从 (1, 1) 到 (7, 7) 的距离是 $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2$ 。

距离公式在三维空间中也适用吗？

适用，只需再加一项： $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ 。这个计算器处理的是平面上的点，所以只需输入 x 和 y 坐标。

怎样检验三个点能否构成直角三角形？

用距离公式求出三条边的长度，再检验两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。如果相等，这个三角形就有一个直角。

测量你的两点之间的距离

在上方输入两个点，即可得到化简后的精确根式距离、它的小数值以及中点。

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两点间距离公式计算器