矩阵计算器：乘法、加法、行最简形、秩与幂

关于矩阵计算器

矩阵把数按行和列排列，它是线性代数、计算机图形学、经济模型、统计学和机器学习的通用语言。这些运算本身并不复杂，但涉及大量细小的乘法和加法，只要一个元素出错，整个答案就错了。

这个计算器可以进行九种矩阵运算：乘法、加法、减法、数乘、正整数次幂、转置、行最简形、秩和迹。元素可以是整数、小数或分数，所有运算都是精确的，所以像 $\frac32$ 这样的结果会以分数而不是舍入后的小数显示。行化简会按顺序列出每一步行变换。

什么是矩阵？

矩阵是由 $m$ 行 $n$ 列数排成的矩形数表，称为 $m \times n$ 矩阵。第 $i$ 行第 $j$ 列的元素记作 $a_{ij}$ 。方阵的行数与列数相同，单位矩阵 $I$ 的主对角线上全是一，其余位置全是零。

矩阵表示线性映射和线性方程组。用矩阵乘以向量，就是施加旋转、缩放之类的变换；两个矩阵相乘，则是把两个变换复合成一个。

如何使用矩阵计算器

从列表中选择一种运算。
输入矩阵 A，同一行的元素之间用空格分隔，行与行之间用分号分隔，例如 1 2; 3 4。
对于乘法、加法和减法，按同样的格式输入矩阵 B。
对于数乘或求幂，输入数 $k$ 。
点击“计算”，按照步骤得到结果。

公式

矩阵乘积的元素

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

和

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

转置

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

迹

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

例题详解: A × B (2×2)

例题计算 $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ 乘以 $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ 。乘积的每个元素都是 $A$ 的一行与 $B$ 的一列的点积；左上角的元素是 $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ 。

对其余三个位置重复这一过程，得到 $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ 。交换顺序则得到 $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ ，这是另一个矩阵，说明矩阵乘法不满足交换律。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

我们对题目的理解

精确计算 A × B。

分步解答

读取矩阵 A
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
读取矩阵 B
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
每个元素是 A 的一行与 B 的一列的点积
结果为 2×2。
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
结果
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

所用公式

矩阵乘积
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A 是 2×2，B 是 2×2，所以 AB 为 2×2。矩阵乘法不满足交换律：BA 一般不同。

验算

所有运算都是精确的（使用分数，不舍入）。

详细讲解

运算何时有定义

加法和减法要求两个矩阵的大小完全相同，并逐个元素进行。乘法 $AB$ 要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数； $m \times n$ 矩阵乘以 $n \times p$ 矩阵，得到 $m \times p$ 的结果。 $2 \times 3$ 矩阵不能去乘 $2 \times 2$ 矩阵，此时计算器会解释大小为何不匹配，而不是返回一个错误代码。

只有方阵才能求幂，因为 $A \cdot A$ 要求大小匹配。把 $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ 自乘到五次幂，得到 $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ ，它的元素都是斐波那契数。

行化简与秩

行最简形通过三种行变换得到：交换两行、用非零数乘某一行，以及把某一行的倍数加到另一行。目标是让每个非零行都有一个首元 1，并且它的上方和下方都是零。行最简形是求解线性方程组、求基和检验线性无关性的标准方法。

秩是行最简形中非零行的个数，它等于线性无关的行（或列）的个数。矩阵 $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ 化简后出现一个零行，所以它的秩为 2：第三行是前两行的组合。

转置与迹

转置把矩阵沿主对角线翻转，使行变成列。它出现在点积、最小二乘拟合以及对称矩阵的定义中，对称矩阵就是等于自身转置的矩阵。迹是方阵对角线元素之和；它等于特征值之和，因此可以快速检验特征值的计算结果。

常见错误

把矩阵逐个元素相乘，而不是行乘以列。
以为 $AB = BA$ ；因子的顺序很重要。
试图把大小不同的矩阵相加。
把乘积的大小弄错； $m \times n$ 乘以 $n \times p$ 的乘积是 $m \times p$ 。
行化简时把某一行乘以零，这会丢失信息。

小贴士

相乘之前，在每个矩阵旁边写下它的大小，确认乘积存在。
使用分数而不是舍入后的小数，让行化简保持精确。
手算其中一个元素来检验乘积。
用行列式计算器检验方阵是否可逆。
当矩阵来自线性方程组时，使用方程组计算器。

常见问题

怎样输入矩阵？

同一行的元素用空格或逗号分隔，行与行之间用分号分隔。例如，1 2; 3 4 就是以 (1, 2) 和 (3, 4) 为行的 2×2 矩阵。

为什么矩阵乘法不满足交换律？

AB 是用 A 的行与 B 的列组合，而 BA 是用 B 的行与 A 的列组合。这是不同的计算，所以结果通常不同，甚至可能一个乘积存在而另一个不存在。

两个矩阵什么时候可以相乘？

当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时。乘积的行数与第一个矩阵相同，列数与第二个矩阵相同。

什么是行最简形？

这样一种形式：每个非零行都以首元 1 开头，每个首元 1 都位于上一行首元的右侧，并且首元 1 所在列的其他元素全为零。

矩阵的秩说明了什么？

它是线性无关的行或列的个数。对于方阵，满秩意味着矩阵可逆，相应的线性方程组有唯一解。

矩阵中可以用分数吗？

可以。像 1/2 这样的元素都可以输入，所有结果都用精确分数计算。

矩阵的迹是什么？

方阵主对角线上元素之和。它也等于矩阵的特征值之和。

进行你的矩阵运算

在上方输入矩阵，即可用精确分数进行乘法、化简或分析，并展示每一步。

使用计算器询问 AI 解题器

矩阵计算器