跳到主要内容
MathSolver Pro
  • 打开数学解题器
  • 询问 AI 辅导老师
  • 查找 AP 课程
  • 创建测验
  • 打开计算器
  • 图形计算器
  • 浏览全部计算器
  • 阅读数学指南
↑ ↓回车打开 · Esc 关闭
开始解题

逆矩阵计算器

输入一个方阵，即可用精确分数求出它的逆矩阵：2×2 用简便公式，其他情况对 [A | I] 做高斯–若尔当消元，并查看 A 乘以其逆矩阵等于单位矩阵的验证。

每行输入矩阵的一行（或用 ; 分隔各行）。元素之间用空格或逗号分隔。可以使用 1/2 这样的分数和小数。

示例

关于逆矩阵计算器

逆矩阵对矩阵的作用，就像除法对数的作用。如果 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}，那么 x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}，所以一个逆矩阵能一次性解出所有系数矩阵相同的方程组。逆矩阵还用于在图形学中撤销变换、在希尔密码中解密信息，并广泛出现在统计学的公式中，例如最小二乘回归。

这个计算器先检查行列式是否不为零，因为只有这样逆矩阵才存在。对于 2×22 \times 2 矩阵，它使用快捷的对调变号法则。对于更大的矩阵，它对增广矩阵 [A∣I][A \mid I] 进行高斯–若尔当消元，并列出每一步行变换。每个元素都是精确分数，最后一步用 AA 乘以结果，确认得到单位矩阵。

什么是逆矩阵？

方阵 AA 的逆矩阵是满足 AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I 的矩阵 A−1A^{-1}，其中 II 是单位矩阵。逆矩阵如果存在就是唯一的，这时称该矩阵可逆或非奇异。

方阵可逆当且仅当它的行列式不为零。等价的条件有：它的各行线性无关，它的秩等于它的阶数，以及方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 只有零解。非方阵永远没有双侧逆矩阵。

如何使用逆矩阵计算器

  1. 输入一个方阵，同一行的元素之间用空格分隔，行与行之间用分号分隔，例如 4 7; 2 6。
  2. 点击“求逆矩阵”。
  3. 检查行列式这一步；如果它为零，矩阵就没有逆矩阵。
  4. 按照行变换或 2×2 法则得到逆矩阵。
  5. 确认最后的验证：A·A⁻¹ 等于单位矩阵。

公式

2×2 逆矩阵

(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

高斯–若尔当消元法

[A∣I]  ⟶  [I∣A−1][A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid A^{-1}]

乘积的逆

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

解方程组

Ax=b  ⇒  x=A−1bA\mathbf{x} = \mathbf{b} \;\Rightarrow\; \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

例题详解: 2×2 矩阵

例题求 A=(4726)A = \begin{pmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{pmatrix} 的逆矩阵。它的行列式是 4⋅6−7⋅2=104 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10，不为零，所以逆矩阵存在。

对调主对角线上的元素，把另外两个元素变号，再除以 10，得到 (35−710−1525)\begin{pmatrix}\frac35 & -\frac{7}{10}\\-\frac15 & \frac25\end{pmatrix}。用它乘以 AA 就回到单位矩阵，最后一步会确认这一点。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

A−1=[35−710−1525]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

我们对题目的理解

求 2×2 矩阵的逆矩阵。

[4726]−1\begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}^{-1}

分步解答

  1. 检查行列式不为零

    det⁡A=10≠0\det A = 10 \neq 0

  2. 交换 a 与 d，将 b 和 c 变号，再除以行列式

    A−1=110[6−7−24]=[35−710−1525]A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

  3. 验证：A·A⁻¹ = I

    AA−1=[1001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

所用公式

  • 2×2 逆矩阵

    [abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

  • 高斯–若尔当消元法

    [A∣I]∼[I∣A−1][A \mid I] \sim [I \mid A^{-1}]

行列式为 10，所以 A 可逆。逆矩阵的每个元素都是精确值。

验算

  • 用 A 乘以结果，恰好得到单位矩阵。

详细讲解

高斯–若尔当消元法

对于 3×33 \times 3 或更大的矩阵，把 AA 和单位矩阵并排写在一起，对整个增广矩阵做行变换。把每个主元所在行乘以适当的数，使主元变为 1，再消去该列的其他所有元素。当左半部分变成单位矩阵时，右半部分就是 A−1A^{-1}，因为把 AA 变成 II 的同一串行变换，也会把 II 变成 A−1A^{-1}。

对于以 (2,0,1)(2, 0, 1)、(1,1,0)(1, 1, 0) 和 (0,1,3)(0, 1, 3) 为行的矩阵，计算器把第一行除以 2，消去第一列，消去第二列，把第三行除以 72\frac72，再消去第三列。逆矩阵的每个元素都是 17\frac17 的倍数，因为行列式等于 7。

奇异矩阵

如果行列式为零，消元会在左边产生一个零行，永远无法得到单位矩阵。计算器一开始就会发现这一点。矩阵 (1224)\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix} 是奇异的，因为它的第二行是第一行的两倍，所以计算器会报告它没有逆矩阵，而不是输出一个毫无意义的答案。

行列式仅仅很小，对精确运算来说不是问题，但在实际数据中却是一个警示：逆矩阵的元素会很大，AA 中微小的测量误差会被大大放大。

使用逆矩阵

要解 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}，就用 A−1A^{-1} 乘以 b\mathbf{b}。当几个方程组的系数矩阵相同时，这样做很高效。如果只有一个方程组，直接对增广矩阵 [A∣b][A \mid \mathbf{b}] 做行化简，通常比先求出完整的逆矩阵更省事。

2×22 \times 2 的简便公式并不是另一种技巧：它正是对一般的 2×22 \times 2 矩阵用符号进行高斯–若尔当消元所得到的结果。看到行列式 ad−bcad - bc 出现在每个元素的分母中，就能明白为什么行列式为零时逆矩阵不可能存在。

常见错误

  • 在 2×2 公式中忘记除以行列式。
  • 把副对角线上的元素对调，而不是变号。
  • 只对增广矩阵的左半部分做行变换。
  • 写成 (AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}；顺序应当颠倒。
  • 试图对行列式为零的矩阵求逆。

小贴士

  • 先算行列式；如果它为零，就到此为止。
  • 元素保留为分数，避免舍入误差破坏单位矩阵的验证。
  • 用 AA 乘以你的答案来验证；对角线上的每个元素都应为 1，其余都为 0。
  • 留意逆矩阵各元素分母中的行列式。
  • 用矩阵计算器把逆矩阵乘以常数向量。

常见问题

怎样求 2×2 矩阵的逆矩阵？

对调主对角线上的两个元素，改变另外两个元素的符号，再把每个元素除以行列式 ad − bc。

怎样求 3×3 矩阵的逆矩阵？

写出增广矩阵 [A | I]，用行变换把左半部分化为单位矩阵。这时右半部分就是逆矩阵。

矩阵什么时候没有逆矩阵？

当它的行列式为零时。这样的矩阵称为奇异矩阵；它的各行线性相关，消元无法得到单位矩阵。

怎样验证逆矩阵？

用原矩阵乘以逆矩阵。如果结果是单位矩阵，逆矩阵就是正确的。计算器会自动完成这一步。

非方阵有逆矩阵吗？

没有。只有方阵才可能有从两侧都成立的逆矩阵。

可以输入小数吗？

可以。小数会转换为精确分数，所以 0.5 按 1/2 处理，逆矩阵也是精确计算的。

单位矩阵的逆矩阵是什么？

就是单位矩阵本身，因为它与自身相乘保持不变。

求出你的逆矩阵

在上方输入一个方阵，即可得到它的精确逆矩阵，以及行列式检查和每一步行变换。

使用计算器询问 AI 解题器

更多数学计算器

矩阵计算器线性代数行列式计算器线性代数特征值计算器线性代数点积计算器线性代数叉积计算器线性代数分数计算器基础数学