如何求矩阵的行列式

行列式衡量的是什么

每个方阵都有行列式，记作 $\det(A)$ 或 $|A|$。非方阵没有行列式。行列式能立刻回答一个关键问题：方阵可逆，当且仅当它的行列式不为零。行列式为零意味着矩阵把空间压缩到了更低的维度，信息因此丢失，无法恢复。

从几何上看，行列式的绝对值是矩阵在二维中缩放面积、在三维中缩放体积的倍数。它的符号告诉你变换是保持方向还是反转方向，就像镜子把左右颠倒一样。

2 乘 2 的公式

对于 $2 \times 2$ 矩阵，用主对角线上元素的乘积减去另一条对角线上元素的乘积：

在这里很容易看出面积的含义。矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的两列 $(3, 1)$ 和 $(1, 2)$ 张成一个平行四边形，其面积为 $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$，正是行列式的值。

3 乘 3 矩阵的余子式展开

对于更大的矩阵，余子式展开把问题化为更小的行列式。选一行，比如第一行。对其中每个元素，删去它所在的行和列，得到一个更小的矩阵，称为余子式，然后用该元素乘以余子式的行列式。最后按照 $+, -, +$ 的棋盘式符号把结果合起来：

可以沿任意一行或一列展开，答案都相同。选择零最多的那一行或列，因为每个零元素都能省掉一整项。

萨吕斯法则：仅适用于 3 乘 3 的捷径

对于 $3 \times 3$ 矩阵，有一个好记的捷径。把向右下方的三条对角线乘积（超出边缘时绕回）相加，再减去向左下方的三条对角线乘积。对于例 2 中的矩阵，向右下方的乘积是 $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$、$(-3)(-1)(1) = 3$ 和 $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$，总和为 11。向左下方的乘积是 $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$、$2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ 和 $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$，总和为 $-38$。行列式为 $11 - (-38) = 49$，与余子式展开的结果一致。

要注意：萨吕斯法则只适用于 $3 \times 3$ 矩阵。把同样的对角线模式用于 $4 \times 4$ 矩阵会得到错误答案，这是考试中常见而代价很大的错误。

用行化简求更大矩阵的行列式

余子式展开很快就会变得很慢：一个 $10 \times 10$ 矩阵需要数百万次乘法。行化简要高效得多。三角矩阵的行列式就是其对角元素的乘积，所以只需把矩阵化为三角形式，同时记录每个行变换如何改变行列式：

• 把一行的倍数加到另一行上，行列式不变。
• 交换两行，行列式乘以 $-1$。
• 把一行乘以数 $k$，行列式也乘以 $k$。

能省力的性质

• 有一行或一列全为零的矩阵，行列式为 0。
• 有两行相等，或者某一行是另一行的倍数的矩阵，行列式为 0。
• 对于 $n \times n$ 矩阵，$\det(kA) = k^n\det(A)$，而不是 $k\det(A)$。
• 单位矩阵的行列式为 1。

利用这些规则，许多行列式无需计算就能求出。如果你注意到某一行是另一行的两倍，行列式就为零，矩阵没有逆矩阵，这一点可以用矩阵的逆指南来确认。

克拉默法则：用行列式解方程组

行列式可以直接求解小型线性方程组。对于 $2x + y = 5$ 和 $x - 3y = -1$，系数行列式为 $D = 2(-3) - 1(1) = -7$。用常数项替换第一列，得到 $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$；替换第二列，得到 $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$。于是 $x = \frac{D_x}{D} = 2$，$y = \frac{D_y}{D} = 1$。

克拉默法则简洁优美，对 $2 \times 2$ 和 $3 \times 3$ 方程组很方便，但对更大的方程组效率很低，那时消元法更快。如果 $D = 0$，方程组要么无解，要么有无穷多解。行列式计算器可以对任意大小的矩阵显示余子式展开和行化简的步骤，矩阵计算器则负责相关的其他运算。

一个 4 乘 4 的例子：让零来干活

利用零元素，较大的行列式也能变得容易处理。考虑行为 $(1, 0, 2, 0)$、$(3, 1, 0, 0)$、$(0, 0, 2, 1)$ 和 $(0, 0, 0, 4)$ 的矩阵。最后一行有三个零，所以沿它展开只剩下一项：位于正号位置的元素 4，乘以删去最后一行和最后一列后剩下的 $3 \times 3$ 矩阵的行列式。

这个较小的矩阵的行为 $(1, 0, 2)$、$(3, 1, 0)$ 和 $(0, 0, 2)$。它的最后一行也有两个零，于是再展开一次：元素 2 乘以 $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$，得到 2。因此整个行列式为 $4 \cdot 2 = 8$。如果没有这些零，同样的计算需要二十四个乘积，每个乘积都是四个数相乘。

需要避免的常见错误

• 在余子式展开中忘记交替的符号，尤其是第一行第二个位置上的负号。
• 把萨吕斯的对角线法则用于 $4 \times 4$ 或更大的矩阵。
• 在行化简中把某一行乘以一个数，却没有相应地调整行列式。
• 交换了两行却忘记改变符号。
• 以为 $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$，这一般是错误的；只有乘积才能这样拆开。

一个好习惯是用两种方法计算 $3 \times 3$ 行列式，例如先沿某一行做余子式展开，再沿含零的某一列展开。如果答案一致，就可以放心；如果不一致，差异会指引你找到符号错误。

三维中的行列式

在三维中，$3 \times 3$ 行列式的绝对值是平行六面体（一个倾斜的盒子）的体积，它的棱就是矩阵的三个列向量。因此，例 2 中的矩阵把单位立方体变成体积为 49 的立体。同样的思路给出一个快速判断三个向量是否共面的方法：当且仅当行列式为零时它们共面，因为扁平的盒子没有体积。叉积与此密切相关，因为它通常就是作为一个形式上的 $3 \times 3$ 行列式来计算的。

常见问题