两个向量的叉积详解

叉积得到的是什么

点积把两个向量变成一个数。叉积又称向量积，它把两个向量变成第三个向量。叉积只在三维空间中有定义，其结果有两个决定性特征：方向同时垂直于原来的两个向量，长度等于它们构成的平行四边形的面积：

这里 $\theta$ 是两个向量的夹角，取值范围为 0 到 180 度。由于 0 度和 180 度的正弦都为零，平行向量的叉积总是零；而对于给定大小的两个向量，互相垂直时叉积的长度最大。

分量公式

对于 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，叉积的分量为：

这个公式不好记，所以大多数人改用一个形式上的行列式。在第一行放入单位向量 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$，接着两行分别写 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的分量，然后沿第一行展开：

最后一定要做这两次点积检验。只需几秒钟，就能发现几乎所有符号错误，尤其是中间分量的符号错误。

右手定则与顺序

同时垂直于两个向量的方向有两个，彼此相反，右手定则从中选出一个。让右手四指指向 $\mathbf{a}$，再向 $\mathbf{b}$ 弯曲，拇指所指的方向就是 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 的方向。对于标准单位向量，这给出 $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$、$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ 和 $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$。

交换顺序后拇指会指向相反方向，所以叉积是反交换的：

叉积也不满足结合律：$(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$，而 $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$。不过它对加法满足分配律，数乘也可以提出，即 $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$。

平行四边形与三角形的面积

由于叉积的长度就是平行四边形的面积，它可以直接由坐标求出面积。例 1 中的两个向量张成的平行四边形面积为 $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$，以这两个向量为边的三角形面积是它的一半，约为 3.67。

法向量与平面方程

平面由其上一点和一个垂直于它的法向量确定。位于平面内的两个向量的叉积同时垂直于这两个向量，所以它正是这样一个法向量。在例 2 中，向量 $(6, 3, 2)$ 是经过 $P$、$Q$、$R$ 的平面的法向量，所以平面方程为 $6x + 3y + 2z = d$。代入 $P(1, 0, 0)$ 得 $d = 6$。

平面方程为 $6x + 3y + 2z = 6$，$Q$ 和 $R$ 也满足它：$3 \cdot 2 = 6$，$2 \cdot 3 = 6$。同样的思路在 3D 图形中被不断使用：模型的每个三角形都需要一个法向量，用来决定它如何受光照以及哪一面朝向摄像机。

力矩及其他物理应用

力矩，即力的转动效应，是一个叉积：$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$，其中 $\mathbf{r}$ 从转轴指向力的作用点。它的大小为 $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$。

角动量以及运动电荷所受的磁场力也都是叉积，在每种情况下，结果的方向都由右手定则给出。

标量三重积与体积

把两种乘积结合起来，就得到标量三重积 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$，它等于以 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$ 为行的 $3 \times 3$ 行列式。它的绝对值就是这三个向量张成的平行六面体的体积。对于 $(1, 0, 0)$、$(0, 2, 0)$ 和 $(0, 0, 3)$，这个平行六面体就是普通的长方体，三重积为 $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$。三重积为零意味着三个向量位于同一平面内。

叉积计算器会显示每一步行列式运算来计算叉积，同时给出面积和向量夹角。配合点积计算器可以验证垂直关系。

点到直线的距离

面积的含义还能解决一个经典的距离问题。设一条直线经过点 $A$，方向向量为 $\mathbf{u}$，点 $P$ 不在这条直线上。由 $\overrightarrow{AP}$ 和 $\mathbf{u}$ 张成的平行四边形面积为 $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$，它的底为 $|\mathbf{u}|$，所以它的高，也就是 $P$ 到直线的距离，等于面积除以底。

例如，取经过原点、方向为 $(1, 2, 2)$ 的直线和点 $P(2, 1, 3)$。叉积 $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ 的长度为 $\sqrt{26}$，方向向量的长度为 3，所以距离为 $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$。也可以用投影来验证：该点到原点的距离为 $\sqrt{14}$，它在直线方向上的投影长度为 $\frac{10}{3}$，由勾股定理得到的距离相同。

常见错误与练习

• 展开行列式时忘记中间分量前的负号。
• 把两个向量的顺序弄反，导致答案方向相反。
• 把叉积的长度直接当作三角形面积，而不是取它的一半。
• 对二维向量求叉积时，没有先补上为零的第三个分量。

作为练习，验证 $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$，这正是规则 $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$。然后确认 $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ 是零向量，因为第二个向量是第一个向量的两倍。最后计算 $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$，你应当得到 $(1, -1, 1)$，并且两次点积检验的结果都应为零。

为什么公式给出的是垂直向量

与其直接相信分量公式，不如看看它为什么成立。把结果与 $\mathbf{a}$ 本身做点积，得到 $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$。展开括号后，每一项都恰好以相反的符号出现两次，所以总和正好为零。与 $\mathbf{b}$ 做点积时也会发生同样的抵消。用行列式的语言来说，与 $\mathbf{a}$ 做点积相当于把单位向量那一行换成 $\mathbf{a}$，得到一个有两行相同的行列式，而这样的行列式总是零。无论哪种看法，垂直性都是公式本身所固有的，而不是个别例子的巧合。

常见问题