点积详解

分量公式

点积又称数量积或标量积，它作用于两个维数相同的向量，结果是一个数，而不是向量。计算方法是把对应分量相乘，再把结果相加：

这个公式适用于任意维数，这也是点积在数据科学中如此常见的原因，那里的向量可能有成千上万个分量。它还是矩阵乘法的基本组成部分：矩阵乘积的每个元素都是某一行与某一列的点积。

几何公式与向量夹角

点积还有第二种几何描述。如果把两个向量从同一点画出，$\theta$ 是它们之间的夹角，那么：

这里 $|\mathbf{a}|$ 是 $\mathbf{a}$ 的长度，也叫模。这两个公式总是一致的，这一点可以通过对由 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ 构成的三角形应用余弦定理得到。把两者结合起来，就得到求任意两个向量夹角的实用方法：

符号说明了什么

由于长度都是正数，点积的符号与 $\cos\theta$ 的符号相同。这样不用计算夹角，就能快速判断它的大小：

• 为正：夹角是锐角，小于 90 度，两个向量大致指向同一方向。
• 为零：两个向量垂直，也称正交。
• 为负：夹角是钝角，大于 90 度，两个向量大致指向相反方向。

为零的情况最有用。例如，$(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$，所以这两个向量垂直。在二维平面中，把一个向量的两个分量交换位置，再把其中一个取相反数，总能得到一个与之垂直的向量，这是求直线法向量的便捷技巧。

长度与单位向量

向量与自身做点积，得到的是其长度的平方，因为夹角为零且 $\cos 0 = 1$：

所以 $(2, -1, 3)$ 的长度是 $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$。用向量除以它的长度，就得到一个单位向量，它的长度为 1，方向不变。单位向量很方便，因为两个单位向量的点积恰好就是它们夹角的余弦。

把一个向量投影到另一个向量上

$\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的投影，就是光线垂直照向经过 $\mathbf{b}$ 的直线时，$\mathbf{a}$ 在这条直线上投下的影子。点积可以直接给出它：

数 $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$（这里约为 4.427）是 $\mathbf{a}$ 沿 $\mathbf{b}$ 方向的标量投影，也就是影子带符号的长度。投影把一个向量分解为沿某个方向的部分和垂直于该方向的部分，从物理学到统计学中的最小二乘法，到处都会用到这一步。

力所做的功

在物理学中，只有沿运动方向的那部分力才做功。因此，恒力 $\mathbf{F}$ 使物体产生位移 $\mathbf{d}$ 时所做的功就是一个点积：$W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$。

性质与应用

• 交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$。
• 分配律：$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$。
• 数乘可以提出：$(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$。
• 柯西-施瓦茨不等式：$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$，它保证余弦公式给出的值总在 $-1$ 和 1 之间。

在几何之外，点积还支撑着余弦相似度，搜索引擎和推荐系统用它衡量两篇文档或两个用户有多相似；它也用于 3D 图形中的光照计算，亮度取决于表面法向量与光线方向的点积；神经网络中的神经元同样是在计算输入与权重的点积。点积计算器可以逐步算出点积、夹角和投影，叉积计算器则处理向量的另一种乘法，详见我们的叉积指南。

一道经典几何题

点积能让一些几何问题变得出奇地快。正方体的体对角线与它的一条棱成多大角？把正方体的一个顶点放在原点，长度为 1 的棱沿坐标轴放置。体对角线从原点通向 $(1, 1, 1)$，其中一条棱通向 $(1, 0, 0)$。

它们的点积是 1，对角线长 $\sqrt{3}$，棱长 1，所以 $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$，$\theta \approx 54.7^\circ$。用传统几何方法做这道题，需要在正方体内部构造一个直角三角形，并仔细推敲它的各边；而用向量只需三行。只要能把方向表示成向量，同样的方法就能求出任意两条直线、两个平面或两个化学键之间的夹角。

常见错误

• 把答案写成向量，例如写成 $(8, 0, -6)$，而不是它们的和 2。
• 用夹角公式计算长度时忘记开平方。
• 在向量投影公式中除以 $|\mathbf{b}|$，而不是 $|\mathbf{b}|^2$。
• 在计算器上求 $\cos\theta$ 或其反函数时，角度制和弧度制混用。
• 其中一个向量其实是零向量，却断定两个向量垂直。

符号是很好的合理性检查。如果在你的草图中两个向量明显指向相近的方向，点积就必须为正；如果计算结果是负数，就去检查某个分量是否出现了符号错误。

练习题

先自己做，再对照下面的答案。第一题，求 $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$；各乘积为 4、$-3$ 和 $-10$，所以答案是 $-9$，负值说明夹角是钝角。第二题，求 $k$ 使 $(2, k)$ 与 $(3, -6)$ 垂直：令 $6 - 6k = 0$，得 $k = 1$。第三题，求 $(1, 0)$ 与 $(1, 1)$ 的夹角：点积为 1，长度分别为 1 和 $\sqrt{2}$，所以夹角为 45 度，画个草图就能确认。

简史

向量记号比大部分中学数学都要年轻。1840 年代，威廉·罗恩·汉密尔顿发明了四元数，这种数有一个实部和三个虚部，他的两个纯四元数相乘，结果既含标量部分又含向量部分。1880 年代，乔赛亚·威拉德·吉布斯和奥利弗·亥维赛把这两部分分开，成为点积和叉积，为物理学家提供了沿用至今、更为简洁的向量代数。吉布斯选用居中的圆点作为符号，这一运算的英文俗称正是由此而来，中文则称为点积或点乘。

常见问题