ACT 数学：题型结构、考查内容与应试策略

新版 ACT 数学部分概览

ACT 推出了新版考试，与旧版相比题量更少、每题的时间更多。根据 ACT 公布的考试结构，数学部分现在共有 45 道题，限时 50 分钟。其中 41 道计分，另有 4 道嵌入的试测题不计分，但不会标明是哪几道，所以要把每道题都当作计分题来做。每道题有四个选项，比旧版的五个少了一个。

数学与英语、阅读并列为三个核心部分，数学成绩的范围是 1 到 36 分，计入综合分数。在新版 ACT 中，科学部分是可选的附加科目，不计入综合分数。与数字化 SAT 不同，ACT 数学部分不是自适应的：考同一套试卷的人看到的题目完全相同。答错不扣分。

ACT 数学部分考查什么

ACT 表示，数学部分考查的是通常在 12 年级开始之前学到的技能。按照其公布的分类，成绩报告分为两大类，数学建模则贯穿全卷：

• 高等数学准备，约占 80%：数与量、代数、函数、几何，以及统计与概率。三角学、对数、函数图像变换和较高阶的代数都出现在这一部分。
• 基本技能综合运用，约占 20%：比率与百分数、比例关系、面积、表面积与体积、平均数与中位数，以及用不同方式表示数，通常以多步骤问题的形式出现。
• 数学建模，贯穿全卷：要求你针对真实情境建立、解释或评估数学模型的题目。

考查面广是最主要的挑战。在一次考试中，你可能刚做完一道百分数题，接着就要面对圆的方程、概率题、对数和三角比。任何一个领域的薄弱环节都会让你丢分，所以全面复习通常比深钻某一个知识点更有成效。

计算器规定

整个数学部分都可以使用计算器，但必须符合 ACT 的计算器规定。有些型号是被禁止的，包括许多内置计算机代数系统的型号，所以要在考试日之前很早就到 ACT 官网查看最新规定，并用你考试时要带的那台计算器进行练习。

许多 ACT 题目用手算或推理比用计算器更快。计算器应该用于繁重的算术、小数和三角函数值，而不能代替你列式解题。

ACT 风格例题详解

下面这些原创题目反映了 ACT 的常见题型。只要方法清晰，大多数题目大约一分钟就能解出。

时间分配策略

每道题只有一分钟多一点，时间分配确实是一个重要因素。前面的题目往往比较直接，所以许多学生会力求快速完成它们，为后面较难的题目留出时间。

1. 第一遍做题时，不要让任何一道题占用超过大约两分钟。做个标记，猜一个答案，然后继续往下做。
2. 利用选项。把选项代回方程，或者在表达式中代入简单的数来检验，往往比用代数方法求解更快。
3. 在时间结束前给每道题都填上答案，因为猜错不扣分。
4. 在最后几分钟，以全新的视角回头处理标记过的题目。

如何备考

从 ACT 官方练习材料入手，它们反映的是新版考试形式，先完整地限时做一次数学部分作为基准。把做错的题按知识点和原因分类：知识缺漏、方法错误、粗心失误或时间不够。然后逐个攻克最薄弱的知识点，并借助分步骤工具核对练习答案，例如方程求解器、对数计算器、单位圆计算器以及平均数、中位数和众数计算器。

每隔一两周再做一次限时的数学部分，衡量自己的进步。混合练习对 ACT 尤其有价值，因为题目会毫无预兆地在不同知识点之间跳转；数学练习策略介绍了如何编排混合练习题组。在最后一周，按照数学考试准备中的复习方法，把重点放在重做以前的错题上。

值得记住的公式

由于 ACT 不提供公式表，考试日之前应该把一小批公式记得滚瓜烂熟。最常用的包括：

• 斜率与直线：$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 和 $y = mx + b$。
• 距离与中点：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 和 $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$。
• 求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
• 圆：面积 $\pi r^2$，周长 $2\pi r$，方程 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$。
• 直角三角形：$a^2 + b^2 = c^2$，正弦、余弦和正切分别等于对边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边。
• 体积：长方体 $lwh$，圆柱 $\pi r^2 h$。
• 等可能结果的概率：有利结果数除以结果总数。

不要把它们当作孤立的结论来死记，而要在多道题中反复练习每个公式，让识别何时使用它变得和公式本身一样自然。距离公式计算器和二次方程计算器便于核对这些练习。

ACT 数学的常见陷阱

• 与中间结果相同的选项，例如题目问的是 $x^2$ 而选项中有 $x$ 的值，或者问的是周长而选项中有边长。
• 图形不按比例绘制。要依据给出的度量，而不是图形看起来的样子。
• 三角题中的计算器模式错误。角以度给出时，要确认计算器处于角度模式。
• 百分数的百分数：先打 10% 的折扣再打 10% 的折扣，相当于总共便宜 19%，而不是 20%。
• 求函数值时的负号问题，如例 2 所示。

常见问题