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单位圆计算器

输入一个角（角度制或弧度制），即可得到它在单位圆上对应的点、正弦、余弦和正切的精确值、参考角和所在象限，以及倒数函数的值。

角度如 150 或 -45；弧度如 5pi/6、π/4 或 1.2。

示例

关于单位圆计算器

单位圆把三角函数变成了坐标。每个角都对应半径为 1 的圆上的一个点，而这个角的余弦和正弦就是该点的 xx 坐标和 yy 坐标。记住少数几个特殊点，再利用对称性，不用计算器就能得到几十个角的精确值。

这个计算器替你完成这些推理。它在角度和弧度之间换算，把角化到一圈以内，确定象限和参考角，并对特殊角读出 32\frac{\sqrt3}{2} 这样的精确值。对于其他角，它给出精确的小数近似值。它还会给出正切、正割、余割和余切，并在其中某个函数无定义时加以说明。

什么是单位圆？

单位圆是以原点为圆心、半径为 1 的圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1。角 θ\theta 从 xx 轴正半轴开始量起，正角按逆时针方向，负角按顺时针方向。角的终边与圆的交点就是 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)。

由于这个点在圆上，对每个角都有 cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1，这就是平方关系。正切是比值 sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}，即终边的斜率；倒数函数为 sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}、csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} 和 cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}。

如何使用单位圆计算器

  1. 输入角，例如 150、-30 或 5pi/4。
  2. 选择角度制或弧度制。
  3. 点击“求未知量”。
  4. 查看所在象限、参考角和精确坐标。
  5. 利用坐标下方列出的正切值和倒数函数值。

公式

圆上的点

P(θ)=(cos⁡θ, sin⁡θ)P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

角度化弧度

θ弧度=θ角度⋅π180\theta_{\text{弧度}} = \theta_{\text{角度}} \cdot \frac{\pi}{180}

平方关系

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

正切

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

例题详解: θ = 150°

例题取 θ=150°\theta = 150°。这个角在第二象限，那里 xx 为负，yy 为正，它的参考角是 180°−150°=30°180° - 150° = 30°。

30°30° 对应的点是 (32,12)(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)。添上第二象限的符号得到 (−32,12)(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)，再用正弦除以余弦，得到 tan⁡150°=−33\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

(cos⁡θ,sin⁡θ)=(−32, 12)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

我们对题目的理解

150° 的单位圆取值

θ=150∘\theta = 150^\circ

分步解答

  1. 把角度化为弧度 (乘以 π/180)

    θ=150∘=5π6 rad\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}

  2. 确定终边位置：在第二象限

    在第二象限，正弦为正，余弦为负（口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”）。

  3. 参考角（终边与 x 轴所成的锐角）

    θ参考角=30∘\theta_{\text{参考角}} = 30^\circ

  4. 由参考角读出精确坐标，再按象限添上符号

    (cos⁡θ,sin⁡θ)=(−32, 12)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

  5. 正切 = 正弦 ÷ 余弦

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−33\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

  6. 倒数函数

    csc⁡θ=2,sec⁡θ=−233,cot⁡θ=−3\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}

所用公式

  • 单位圆上的点

    (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

  • 正切与倒数函数

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ, csc⁡θ=1sin⁡θ, sec⁡θ=1cos⁡θ, cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}

  • 角度与弧度

    rad=度×π180\text{rad} = \text{度} \times \frac{\pi}{180}

150° (5π/6 rad) 的终边在第二象限，参考角为 30°。sin θ = 1/2，cos θ = −√3/2，tan θ = −√3/3，csc θ = 2，sec θ = −2√3/3，cot θ = −√3。

验算

  • cos²θ + sin²θ = 1 (应等于 1)。

详细讲解

特殊角

有三个锐角的精确值很简单。在 30°30° 处，点为 (32,12)(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)；在 45°45° 处，点为 (22,22)(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})；在 60°60° 处，点为 (12,32)(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})。它们来自 30-60-90 和 45-45-90 这两种特殊直角三角形。再加上坐标轴上的角 0°0°、90°90°、180°180° 和 270°270°，就得到单位圆上熟悉的十六个点。

参考角与象限符号

每个角都有参考角，即它的终边与 xx 轴所成的锐角。一个角的坐标与其参考角的坐标绝对值相同，只有符号随象限变化。在第一象限两者都为正；在第二象限只有正弦为正；在第三象限只有正切为正；在第四象限只有余弦为正。所以 5π4\frac{5\pi}{4}，即第三象限的 225°225°，参考角为 45°45°，对应的点是 (−22,−22)(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})。

大于一整圈的角或负角，先加上或减去 360°360° 进行化简。计算器把 765°765° 化为 45°45°，把 −30°-30° 看作第四象限的 330°330°，对应的点是 (32,−12)(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)。

无定义的值与非特殊角

正切和正割要除以余弦，所以在终边竖直的地方，即 90°90° 和 270°270° 处无定义。余切和余割要除以正弦，在 0°0° 和 180°180° 处无定义。计算器会明确说明这些情况，而不是输出一个没有意义的数。

大多数角，例如 20°20°，没有简单的根式形式。对于这些角，计算器给出小数值，同时仍然利用象限和参考角，让你明白符号为什么是这样的。

常见错误

  • 把坐标弄混：余弦是 xx 坐标，正弦是 yy 坐标。
  • 对含 π\pi 的角使用角度制，或对以度为单位的角使用弧度制。
  • 从 yy 轴而不是 xx 轴量参考角。
  • 象限符号用错；要记住每个象限中哪些函数为正。
  • 把 tan⁡90°\tan 90° 写成一个很大的数，而不是无定义。

小贴士

  • 记住 30°30°、45°45° 和 60°60° 的值；其余的都可以由对称性得到。
  • 以 π6\frac{\pi}{6} 和 π4\frac{\pi}{4} 为单位计数，快速确定弧度角的位置。
  • 需要时进行分母有理化：13=33\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}。
  • 用 cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 检验结果。
  • 用三角恒等式计算器证明这些函数之间的关系。

常见问题

单位圆上点的坐标是什么？

对于角 θ，对应的点是 (cos θ, sin θ)。x 坐标是余弦，y 坐标是正弦。

怎样求参考角？

先把角化到 0° 与 360° 之间，再量出它与 x 轴所成的锐角：第一象限为 θ，第二象限为 180° − θ，第三象限为 θ − 180°，第四象限为 360° − θ。

可以输入弧度吗？

可以。选择弧度制，输入 pi/3 或 5pi/4 这样的式子即可。计算器会在步骤中进行弧度与角度的换算。

为什么 tan 90° 无定义？

正切等于正弦除以余弦，而 cos 90° = 0。除以零没有意义，所以 tan 90° 和 sec 90° 都没有值。

计算器能处理负角和大于 360° 的角吗？

能。它会把这些角化为一圈以内的等价角。例如 765° 化为 45°，−30° 看作 330°。

遇到非特殊角会怎样？

像 20° 这样的角没有简单的精确形式，所以计算器给出小数值，同时仍然说明所在象限和参考角。

每个象限中哪些三角函数为正？

第一象限全部为正，第二象限正弦和余割为正，第三象限正切和余切为正，第四象限余弦和正割为正。

口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”是什么意思？

这是记忆象限符号的口诀，从第一象限开始按逆时针方向读：第一象限所有函数都为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。计算器在确定象限的步骤中引用它，帮助你把每个符号与相应的象限联系起来。

求三角函数的精确值

在上方输入任意角，即可看到它在单位圆上的点、参考角以及全部六个三角函数值。

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