三角学

正弦定理及其多解情形

Q: 正弦定理适用于直角三角形吗？

适用。当 C = 90^circ 时，sin C = 1，所以 a/(sin A) = c，整理后就是常见的定义 sin A = a/c。对于直角三角形，用基本三角比通常更快，但正弦定理给出的答案相同。

Q: 为什么“边边角”有时会得到两个三角形？

当 0 < k < 1 时，解 sin B = k 会得到一个锐角及其钝角补角，两者的正弦相同。如果已知角加上那个钝角候选值仍小于 180^circ，两个三角形就都存在。

Q: 正弦定理中的 2R 是什么意思？

每个比值 a/(sin A) 都等于经过三个顶点的圆的直径。例如，a = 10、A = 30^circ 的三角形有 10/0.5 = 20，所以它的外接圆半径是 10。

Q: 正弦定理能求角吗？

能。解 sin B = (bsin A)/a，再取反正弦即可。要记住反正弦只返回锐角，所以还要检查钝角补角是否也成立。

Q: 怎样判断我的三角形问题属于哪种情形？

沿三角形依次列出三个已知量。两个角加任意一条边是“角角边”或“角边角”，可以直接用正弦定理求解。两边及其夹角是“边角边”，三条边是“边边边”，这两种情形都需要先用余弦定理。两边及一个非夹角是“边边角”，即多解情形，这时应检验是没有、有一个还是有两个三角形。

作者 MathSolver Pro Editorial Team · 发布于 2026年10月25日

正弦定理指出，在任意三角形中，每条边除以其对角的正弦，所得的值都相同。已知两个角和一条边时可以用它解三角形；只要细心，已知两条边和其中一边的对角时也可以使用。

公式与标记约定

把三角形的三个角记为 $A$ 、 $B$ 和 $C$ ，并把各角的对边分别记为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 。一个角的对边就是不与它相接的那条边。按照这个约定，正弦定理表述为：

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

其中 $R$ 是经过三个顶点的圆的半径，这个圆称为外接圆。实际使用时一次只用三个分式中的两个，所以这个定理其实是一个比例式，联系一条边及其对角与另一条边及其对角。它也可以倒过来写成 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$ ，当未知量是角时这种写法更方便。

这个定理适用于所有三角形，而不仅是直角三角形，因此它属于常说的斜三角形三角学。在 $C = 90^\circ$ 的直角三角形中，由于 $\sin 90^\circ = 1$ ，它就退化为熟悉的 $\sin A = \frac{a}{c}$ 。

正弦定理为什么成立

从顶点 $C$ 向边 $c$ 作垂线，设其长度为 $h$ 。这条高把三角形分成两个直角三角形。在含角 $A$ 的那个三角形中，斜边是 $b$ ，所以 $h = b\sin A$ 。在含角 $B$ 的那个三角形中，斜边是 $a$ ，所以 $h = a\sin B$ 。

两个表达式表示的是同一条高，所以 $b\sin A = a\sin B$ 。两边同除以 $\sin A\sin B$ ，得到 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ 。从另一个顶点作高，重复同样的推理，就能把边 $c$ 也纳入进来。如果角 $A$ 是钝角，垂足会落在三角形外部，但由于 $\sin(180^\circ - A) = \sin A$ ，同样的等式依然成立。

同一条高还给出了面积公式。面积等于底乘以高的一半，所以以 $c$ 为底、以 $b\sin A$ 为高：

\text{面积} = \tfrac{1}{2}bc\sin A = \tfrac{1}{2}ac\sin B = \tfrac{1}{2}ab\sin C

例如，两边长为 8 和 11、夹角为 $50^\circ$ 的三角形，面积为 $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ 平方单位。

何时使用：“角角边”与“角边角”

使用正弦定理至少需要一组完整的对应关系：一条边及其对角。如果已知两个角，第三个角也就知道了，因为三角形的内角和为 $180^\circ$ 。所以凡是给出两个角和一条边的问题，都可以用正弦定理求解。这两种情形分别称为“角角边”和“角边角”。

例 1（角角边）： $A = 40^\circ$ ， $B = 60^\circ$ ， $a = 10$

第三个角： $C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$ 。
求 $b$ ： $\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ}$ ，所以 $b = \frac{10\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 13.47$ 。
求 $c$ ： $c = \frac{10\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 15.32$ 。
合理性检验：最大的角 $80^\circ$ 对着最长的边 15.32。

例 2（角边角）： $A = 35^\circ$ ， $C = 75^\circ$ ， $b = 20$

已知边位于两个已知角之间。先求出 $B = 180^\circ - 35^\circ - 75^\circ = 70^\circ$ ，这样就凑成了完整的一组 $b$ 、 $B$ 。
$a = \frac{20\sin 35^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 12.21$ 。
$c = \frac{20\sin 75^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 20.56$ 。

每次计算都使用题目给出的边，而不要用自己算出并四舍五入过的边。这样可以避免舍入误差不断累积。

多解情形（边边角）

已知两条边和其中一边的对角时，这些条件可能不构成三角形，也可能恰好构成一个，或者构成两个不同的三角形。原因在于锐角的正弦与其补角的正弦相等，所以解 $\sin B = k$ 会得到两个候选角 $B$ 和 $180^\circ - B$ ，而两者可能都符合条件。

设角 $A$ 为锐角， $a$ 是它的对边， $b$ 是另一条已知边。计算高 $h = b\sin A$ ，然后：

若 $a < h$ ，这条边太短，够不到底边：不存在三角形。
若 $a = h$ ，它恰好够到：一个直角三角形。
若 $h < a < b$ ，它可以摆到两个位置：两个三角形。
若 $a \ge b$ ，只有一个位置可行：一个三角形。

如果 $A$ 是钝角，那么当 $a > b$ 时有一个三角形，否则没有，因为钝角的对边必定是最长边。

例 3：由 $A = 30^\circ$ 、 $a = 6$ 、 $b = 10$ 得到两个三角形

高： $h = 10\sin 30^\circ = 5$ 。由于 $5 < 6 < 10$ ，预计有两个三角形。
$\sin B = \frac{10\sin 30^\circ}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$ ，所以 $B \approx 56.44^\circ$ 或 $B \approx 123.56^\circ$ 。
第一个三角形： $C \approx 93.56^\circ$ ， $c = \frac{6\sin C}{\sin 30^\circ} \approx 11.98$ 。
第二个三角形： $C \approx 26.44^\circ$ ， $c \approx 5.34$ 。

例 4：无解与唯一解

当 $A = 30^\circ$ 、 $a = 4$ 、 $b = 10$ 时： $\sin B = \frac{10(0.5)}{4} = 1.25$ 。正弦值不能超过 1，所以不存在三角形。
当 $A = 30^\circ$ 、 $a = 12$ 、 $b = 10$ 时： $\sin B = \frac{5}{12}$ ，所以 $B \approx 24.62^\circ$ 或 $155.38^\circ$ 。
第二个选项不成立，因为 $30^\circ + 155.38^\circ > 180^\circ$ 。只有一个三角形： $C \approx 125.38^\circ$ ， $c \approx 19.57$ 。

一个测量问题

测量人员用正弦定理来测量无法直接走过去量的距离。河的一岸有两点 $P$ 和 $Q$ ，相距 100 米。对岸有一棵树 $T$ 。在 $P$ 点，河岸与望向树的视线之间的夹角为 $52^\circ$ ；在 $Q$ 点，这个夹角为 $71^\circ$ 。

例 5：河的宽度

树所在处的角： $180^\circ - 52^\circ - 71^\circ = 57^\circ$ ，它对着已知的 100 米基线。
从 $Q$ 到树的距离，即 $52^\circ$ 角的对边： $QT = \frac{100\sin 52^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 93.96$ 米。
从 $P$ 到树的距离： $PT = \frac{100\sin 71^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 112.74$ 米。
河宽，即树到河岸的垂直距离： $QT\sin 71^\circ \approx 88.84$ 米。用 $PT\sin 52^\circ$ 计算会得到相同的值，这是一个有用的检验。

在卫星定位出现之前，人们正是把同样的三角测量思想在庞大的三角形网络中反复运用，绘制出整个国家的地图；如今，卫星定位接收机和手机网络根据角度和距离估算位置，依据的仍是这一原理。

正弦定理还是余弦定理？

先看已知条件。如果已知一条边及其对角，再加上另一个条件，就用正弦定理。如果已知两边及其夹角（边角边），或者三条边都已知（边边边），就没有现成的完整对应关系，应先使用余弦定理。用过一次余弦定理后，通常就有了一组对应关系，接下来可以用正弦定理完成求解；不过更稳妥的做法是先用余弦定理求出最大的角，以避免反正弦带来的多解问题。

完整的逐种情形判断流程，见我们的解三角形指南。至于角的数值本身，单位圆解释了为什么 $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$ ，而这正是多解情形的根源。

常见错误

把一条边与并非其对角的角配成一组。应先画图并标好三角形。
在边边角情形中遗漏第二个解 $180^\circ - B$ 。
接受了使内角和超过 $180^\circ$ 的第二个解。
角以度为单位，计算器却处于弧度模式。
中间步骤的角舍入过多，可能使最终求出的边产生明显偏差。

一个快速的合理性检验能发现大多数错误：最长的边必须对着最大的角，最短的边对着最小的角。余弦定理计算器可以根据任意三个已知量解三角形，并在多解情形中给出两组解，方便你核对答案。

常见问题

正弦定理适用于直角三角形吗？

适用。当 $C = 90^\circ$ 时， $\sin C = 1$ ，所以 $\frac{a}{\sin A} = c$ ，整理后就是常见的定义 $\sin A = \frac{a}{c}$ 。对于直角三角形，用基本三角比通常更快，但正弦定理给出的答案相同。

为什么“边边角”有时会得到两个三角形？

当 $0 < k < 1$ 时，解 $\sin B = k$ 会得到一个锐角及其钝角补角，两者的正弦相同。如果已知角加上那个钝角候选值仍小于 $180^\circ$ ，两个三角形就都存在。

正弦定理中的 2R 是什么意思？

每个比值 $\frac{a}{\sin A}$ 都等于经过三个顶点的圆的直径。例如， $a = 10$ 、 $A = 30^\circ$ 的三角形有 $\frac{10}{0.5} = 20$ ，所以它的外接圆半径是 10。

正弦定理能求角吗？

能。解 $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ ，再取反正弦即可。要记住反正弦只返回锐角，所以还要检查钝角补角是否也成立。

怎样判断我的三角形问题属于哪种情形？

沿三角形依次列出三个已知量。两个角加任意一条边是“角角边”或“角边角”，可以直接用正弦定理求解。两边及其夹角是“边角边”，三条边是“边边边”，这两种情形都需要先用余弦定理。两边及一个非夹角是“边边角”，即多解情形，这时应检验是没有、有一个还是有两个三角形。

MathSolver Pro Editorial Team

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