函数图像计算器：绘制函数、不等式与点

Q: 为什么图像有间断？

间断出现在函数没有定义的地方，例如 x < 0 时的 √(x)，或者出现在竖直渐近线处，例如 1/x 的 x = 0。

Q: 能用图像解方程吗？

可以，但只是近似的：把两边分别画出，读出曲线相交处的横坐标。要得到精确答案，请使用方程求解器。

Q: 在手机上能用吗？

能。图像会根据屏幕大小调整，并支持触摸拖动。

Q: 怎样求两个图像的交点？

把每个函数分别输入一行，然后放大交叉点。它的横坐标是令两个函数相等所得方程的解，纵坐标是两个函数在该处的共同值。

关于函数图像计算器

图像把公式变成图画：根变成与 x 轴的交点，极大值和极小值变成波峰和波谷，渐近线则表现为曲线向无穷远处飞奔的地方。

像 $y > 2x + 1$ 这样的不等式会画成带阴影的区域：边界为实线表示直线上的点包含在内（ $\le$ 、 $\ge$ ），边界为虚线表示不包含（ $<$ 、 $>$ ）。像 $(3, 0)$ 这样的点会画成带标注的圆点，便于检查根和截距。

最多可同时输入五行进行比较。绘图器对每条曲线进行精细采样，在间断处和竖直渐近线处断开曲线，而不是画出错误的连接线，并且在缩放或拖动时立即重绘。

什么是函数图像计算器？

函数图像计算器画出满足某个关系的所有点。对于函数 $y = f(x)$ ，它在可见窗口内对许多间隔很小的 $x$ 值计算 $y$ ，再把这些点连成曲线。对于不等式，它把平面上使不等式成立的每一点都涂上阴影；对于一组点，它只是标出每个坐标对。

看到图像，就能回答一些仅靠代数要花很久才能弄清的问题：方程有几个解、解大约在哪里、函数是递增还是递减，以及当 $x$ 非常大或非常小时函数的走向。这个绘图器完全在你的浏览器中运行，你输入的任何内容都不会被发送到别处。

如何使用函数图像计算器

输入一个关于 x 的函数，例如 x^2 - 2x - 3 或 sin(x)。前面可以写上 y = 或 f(x) =。
对于不等式，让 y 单独位于一侧，例如 y >= x^2 - 4 或 y < 3 - x。对于竖直边界，输入 x < 2 或 x >= -1。
要画点，把点写在括号里并用逗号隔开，例如 (1, 2), (-3, 0.5)。
用“+ 添加一项”按钮增加更多行，以不同颜色进行比较。
拖动图像可以平移，用鼠标滚轮或 + 和 − 按钮缩放，点击“重置”回到默认视图。

公式

直线的斜截式

y = mx + b

抛物线的顶点式

y = a(x - h)^2 + k

正弦型曲线

y = A\sin(Bx + C) + D

例题详解

举个例子，输入 $y = x^2 - 2x - 3$ 。由于 $x^2$ 的系数为正，图像是开口向上的抛物线。它与 x 轴交于 $x = -1$ 和 $x = 3$ ，这就是方程的根，因为 $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ 。它与 y 轴交于常数项 $-3$ ，最低点即顶点位于 $(1, -4)$ ，恰好在两根的正中间。再添加一行 $y < x^2 - 2x - 3$ ，曲线下方的区域就会以虚线边界涂上阴影。

详细讲解

从图像中读出关键特征

$y = f(x)$ 与 x 轴的交点就是 $f(x) = 0$ 的实数解，与 y 轴的交点是 $f(0)$ 。波峰和波谷是局部极大值和极小值，在那里导数为零。曲线在左右两端是无限上升还是趋近某条水平直线，揭示了函数的端点行为。竖直渐近线出现在有理函数分母为零的地方，例如 $y = \frac{1}{x - 2}$ 的 $x = 2$ ；绘图器会在那里断开曲线，而不是在间断处画一条错误的竖线。

图像变换

把一个函数和它的变形画在一起，是学习图像变换最快的方法。在外面加上 $k$ ，即 $f(x) + k$ ，图像向上平移 $k$ 。把 $x$ 换成 $x - h$ ，图像向右平移 $h$ 。乘以 $a$ 会把图像竖直拉伸，若 $a$ 为负，还会关于 x 轴翻折。在三行中分别输入 $y = x^2$ 、 $y = (x - 2)^2$ 和 $y = -x^2 + 3$ ，就能同时看到这三种效果。

用图像解方程和方程组

要解 $2^x = x + 3$ 这样的方程，把两边分别作为一行画出，寻找交点；交点的横坐标就是方程的解。同样的方法也可以解二元二次以内的两个方程组成的方程组。图像给出的是近似值，所以先用它看清有几个解、大约在哪里，再用方程求解器或方程组计算器求出精确答案。

常见错误

输入 sin x 时没有加括号；应写成 sin(x)。
以为 $\sqrt{x}$ 或 $\ln x$ 在 x 为负时也会显示；它们只在 $x \ge 0$ 和 $x > 0$ 时有定义。
窗口太小而漏看了某些特征；先缩小视图看清整体形状。
把从图像上读出的近似交点当作精确答案。

小贴士

把方程两边分别作为函数画出；它们的交点就是方程的解。
比较 $f(x)$ 与 $f(x) + k$ 或 $f(x - h)$ ，观察平移。
同时使用导数计算器，检查图像在哪些地方递增。
放大截距或交点附近，更精确地读出坐标。
除了曲线，再画一个已知点，检查曲线是否经过它。

常见问题

可以画哪些图像？

任何由数字、+ − × ÷、乘方、根式、指数、对数、绝对值以及三角函数、反三角函数和双曲函数构成的关于 x 的函数。

一次最多能画几个函数？

最多五行。每一行可以是一个函数、一个不等式或一组点，各用自己的颜色绘制。

怎样画不等式的图像？

让 y 单独位于一侧输入，例如 y > 2x + 1 或 y <= x^2。解集区域会涂上阴影；虚线边界不属于解集，实线边界属于解集。对于竖直边界，输入 x < 3 或 x >= -2。

可以画点吗？

可以。把一个或多个点写在括号里，例如 (2, 3) 或 (0, 0), (1, 1), (2, 4)。每个点都画成带标注的圆点，每行最多 50 个。

怎样缩放和平移？

滚动鼠标滚轮以指针为中心缩放，也可以用 + 和 − 按钮，拖动可以移动视图。“重置”会把窗口恢复为从 −10 到 10。

为什么图像有间断？

间断出现在函数没有定义的地方，例如 $x < 0$ 时的 $\sqrt{x}$ ，或者出现在竖直渐近线处，例如 $\frac1x$ 的 $x = 0$ 。

能用图像解方程吗？