如何解方程组：图像法、代入消元法和加减消元法

方程组的解是什么意思

线性方程组是由两个或更多个含有相同未知数的一次方程组成的集合。它的解是一组取值，例如 $x = 2$ 和 $y = 3$，能使每个方程同时成立。只检验一个方程是不够的。

当有两个未知数时，每个方程都是平面上的一条直线，而解就是同时位于两条直线上的点。这幅图景解释了三种可能的结果：

• 两条直线相交于一点：恰好有一个解。
• 两条直线平行：无解。这样的方程组称为矛盾方程组。
• 两条直线重合：有无穷多个解。这些方程是相关的。

方法 1：图像法

把每个方程改写成斜截式 $y = mx + b$，画出两条直线，读出交点。图像法是理解方程组含义的最好方式，并且能立即显示出直线平行或重合的情况。不过它并不精确：交点在 $x = \frac{7}{3}$ 处时，很难从草图上读出来。用它来估计，再用代数方法确认。你可以在绘图计算器中同时画出两条直线。

方法 2：代入消元法

从一个方程中解出一个未知数，把这个表达式代入另一个方程，然后解得到的一元方程。当某个未知数的系数已经是 1 或 $-1$ 时，代入消元法是自然的选择。

代入的表达式一定要加括号。这里写成 $3x + 2x - 1$ 碰巧也对，但把 $y = 2x - 1$ 代入 $3x - y = 9$ 时，必须写成 $3x - (2x - 1)$，括号会改变 $-1$ 的符号。

方法 3：加减消元法

把方程乘以适当的倍数后相加或相减，使其中一个未知数消去。当两个方程都是标准形式 $ax + by = c$ 时，加减消元法通常最快。

如果没有系数相同，就先把一个或两个方程乘以适当的数，使系数相同。

识别无解或无穷多解

如果在消元过程中两个未知数都被消去了，就看看剩下的是什么。

• $x + y = 4$ 和 $2x + 2y = 10$。把第一个方程乘以二得到 $2x + 2y = 8$；相减后剩下 $0 = 2$，这是假命题。两条直线平行：无解。
• $x + y = 4$ 和 $3x + 3y = 12$。把第一个方程乘以三恰好得到第二个方程；相减后剩下 $0 = 0$。直线 $x + y = 4$ 上的每个点都是解。

在开始解题之前，你就可以从系数预测这一点：如果 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$，两条直线的斜率相等，方程组要么无解，要么有无穷多个解。

用行列式的克拉默法则

对于两个方程、两个未知数的方程组，行列式可以直接给出每个未知数：

对于 $2x + 3y = 12$ 和 $5x - 3y = 9$：$D = 2(-3) - 3(5) = -21$，$D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$，$D_y = 2(9) - 12(5) = -42$。所以 $x = 3$，$y = 2$，与加减消元法的结果一致。如果 $D = 0$，这个法则就不适用，而这恰好就是直线平行或重合的情况。行列式指南解释了如何为更大的方程组计算行列式。

三元一次方程组

策略是一样的：从两对不同的方程中消去同一个未知数，得到一个二元一次方程组，解出它，再回代。

更大的方程组通常用矩阵和行化简来求解；矩阵计算器展示了同样的过程。

一道应用题

两个未知数需要两个相互独立的条件。如果题目只给出一个条件，就不可能有唯一的答案。

选择方法并避免错误

• 当某个未知数已经单独在一边或系数为 1 时，用代入消元法。
• 当方程是标准形式时，用加减消元法，尤其是系数已经相同或互为相反数时。
• 需要快速求出二元方程组的答案，或者需要每个未知数的公式时，用克拉默法则。
• 最后一定要把得到的一对值代入两个原方程检验，因为一个计算失误可能产生只满足其中一个方程的点。

把你的解题过程与方程组计算器进行对比，它会显示每一步消元或代入。如果需要复习每种方法中都会用到的解单个方程的步骤，请参见如何解一元一次方程。

应该用哪种方法？

所有方法给出的解都相同，所以选择计算最简单的那一种。当某个方程中已经有一个未知数单独在一边，例如 $y = 2x - 1$，或者某个未知数的系数是 1 或 $-1$ 时，代入消元法最好。当两个方程都是标准形式 $ax + by = c$ 且没有单独在一边的未知数时，加减消元法通常更快，因为它可以把分数推迟到最后才出现。

图像法有助于看清情况：两条相交的直线、两条平行的直线，或者同一条直线画了两次。除非交点的坐标是整数，否则它不太适合求精确答案。克拉默法则和矩阵方法适用于三个或更多未知数的方程组，计算器和计算机软件在内部使用的也正是这些方法。

对于非线性方程组，例如一条直线和一条抛物线，代入消元法几乎总是正确的选择。解 $y = x^2$ 和 $y = x + 2$ 得到 $x^2 = x + 2$，所以 $x^2 - x - 2 = 0$，$(x - 2)(x + 1) = 0$。交点是 $(2, 4)$ 和 $(-1, 1)$，两者都满足每个方程。

检验解

方程组的解必须满足每一个方程，而不仅仅是你最后用到的那个。把你求出的值代入每个原方程。对于第二道加减消元法的例题，$(2, 5)$ 给出 $3(2) + 2(5) = 16$ 和 $4(2) - 5(5) = -17$，所以两个方程都成立。如果一个值满足一个方程却不满足另一个，就说明消元过程中出现了计算失误。

把检验过程写在答卷上。它花不了一分钟，而且阅卷人常常会为经过验证的答案给分。

方程组计算器可以求解二元和三元方程组，并显示每一步，方便你对照自己的解题过程。

常见问题