如何解一元二次方程：因式分解法、配方法和公式法

什么样的方程是一元二次方程

一元二次方程可以写成 $ax^2 + bx + c = 0$ 的形式，其中 $a \neq 0$。未知数的最高次数是 2，所以最多有两个解，称为根。在使用任何方法之前，先把所有项移到等号一边，使另一边为零。这一步不能省略：零乘积性质和求根公式都依赖于它。

例如，$x^2 = 3x + 10$ 变为 $x^2 - 3x - 10 = 0$，所以 $a = 1$，$b = -3$，$c = -10$。开始之前把三个系数连同符号一起写下来，是避免后面出现符号错误的最简单方法。

从图像上看，根就是抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 x 轴交点的横坐标。抛物线可能与 x 轴相交两次，可能在顶点处与它相切一次，也可能完全不与它相交，这就是为什么一元二次方程可能有两个、一个或没有实数根。

简单情形：没有一次项或没有常数项

有两种特殊形式完全不需要通用方法。

• 如果 $b = 0$，就把 $x^2$ 单独留在一边，然后开平方，记住两个符号：$x^2 = 49$ 得到 $x = \pm 7$；$4x^2 - 9 = 0$ 得到 $x^2 = \frac{9}{4}$，所以 $x = \pm\frac{3}{2}$。
• 如果 $c = 0$，就提出 $x$：$x^2 - 5x = 0$ 变为 $x(x - 5) = 0$，所以 $x = 0$ 或 $x = 5$。

永远不要把 $x^2 - 5x = 0$ 的两边同时除以 $x$。这样做会丢掉根 $x = 0$，因为当 $x = 0$ 时你是在除以零。

方法 1：因式分解法

如果二次式能分解成两个一次因式，零乘积性质就能完成剩下的工作：如果 $pq = 0$，那么 $p = 0$ 或 $q = 0$。当 $a = 1$ 时，寻找积为 $c$、和为 $b$ 的两个数。

这里 $-5$ 和 $2$ 的积为 $-10$，和为 $-3$。当 $a \neq 1$ 时，AC 方法把同样的搜索推广开来。

因式分解法很快，但只有在根为有理数时才实用。一个有用的检验：对于整系数二次式，当且仅当判别式 $b^2 - 4ac$ 是完全平方数时，它才能在整数范围内分解。对于 $6x^2 + x - 2$，判别式为 $1 + 48 = 49 = 7^2$。更多练习见多项式因式分解指南。

方法 2：配方法

配方法把左边改写成一个完全平方式加上一个常数。以 $x^2 + 6x - 7 = 0$ 为例。先移项，再在两边同时加上 $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$：

所以 $x = 1$ 或 $x = -7$。同样的步骤给出顶点式 $y = (x + 3)^2 - 16$，可知抛物线的顶点在 $(-3, -16)$。完整的方法，包括 $a \neq 1$ 的情形，见我们的配方法指南。

方法 3：求根公式

对一般方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 配方，就得到一个适用于所有一元二次方程的公式：

要让整个分子都除以 $2a$。写成 $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ 是这一内容中最常见的错误之一。

解读判别式

根号下的表达式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 能在你算完之前预告答案的类型：

• $\Delta > 0$：两个不同的实数根；抛物线与 x 轴相交两次。
• $\Delta = 0$：一个重根；顶点与 x 轴相切。例如：$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ 只有一个根 $x = 3$。
• $\Delta < 0$：没有实数根，但有两个共轭复数根。例如：$x^2 + 2x + 5 = 0$ 的 $\Delta = 4 - 20 = -16$，所以 $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$。

应用题：抛体的高度

二次函数可以描述在恒定加速度下先上升后下落的任何物体。假设一个球在 $t$ 秒后的高度（单位：米）为 $h = -5t^2 + 20t + 25$（取 $g \approx 10\ \text{m/s}^2$）。

舍去在实际情境中没有意义的根，是答案的一部分，而不是事后的补充。

应该用哪种方法？

1. 如果 $b = 0$ 或 $c = 0$，使用上面的简单情形。
2. 如果系数是较小的整数且判别式是完全平方数，尝试因式分解。
3. 如果还需要求顶点或顶点式，就用配方法。
4. 其他所有情况都用求根公式；它永远不会失效。

无论选择哪种方法，都可以用韦达定理检验根：两根之和应为 $-\frac{b}{a}$，两根之积应为 $\frac{c}{a}$。对于 $6x^2 + x - 2 = 0$，根 $\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{2}{3}$ 之和为 $-\frac{1}{6}$，之积为 $-\frac{1}{3}$，恰好等于 $-\frac{b}{a}$ 和 $\frac{c}{a}$。

常见错误

• 解 $x^2 = 3x + 10$ 时没有先把所有项移到一边。
• 只取正的平方根，导致 $x^2 = 49$ 丢掉了 $x = -7$。
• 负的 $b$ 平方算错：如果 $b = -3$，那么 $b^2 = 9$，而不是 $-9$。代入时要加括号。
• 只把分子的一部分除以 $2a$。
• 令各因式等于零时弄错符号：在 $(x - 5)(x + 2) = 0$ 中，根是 $5$ 和 $-2$，与括号中数字的符号相反。

把你的解题过程与一元二次方程计算器进行对比，并在绘图计算器中画出抛物线，看看根就是它与 x 轴的交点。

实际中如何选择方法

学生常常问哪种方法才是正确的。每种正确的方法都会得到相同的根，所以真正的问题是：对于眼前这个方程，哪种方法最快、最不容易出错。一个简单的决策流程很好用。第一，看看是否缺项：没有常数项，就提出 $x$；没有 $x$ 项，就把 $x^2$ 单独留下再开平方。第二，花大约十五秒寻找整数因式。第三，如果找不到，就直接用求根公式，而不要继续尝试更多的因数组合。

当题目还要求顶点时，当 $x$ 的系数是偶数且首项系数为 1 时，或者题目明确要求使用配方法时，配方法是更好的选择。画图很适合估计根的大小和检查实数解的个数，但从图上读出的数值是近似的，所以除非根明显是整数，否则应把它当作检验手段，而不是最终答案。

在限时考试中，先算判别式。如果它是完全平方数，方程就能在整数或有理数范围内分解；如果它是负数，你立刻就知道没有实数根。

检验你的根

代入是最可靠的检验方法：把每个根代回原方程，确认左边等于零。对于无理根，手算代入很繁琐，所以可以改用两根之和与两根之积。对于 $2x^2 + 4x - 3 = 0$，根 $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ 之和为 $-2$，等于 $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$；之积为 $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$，等于 $\frac{c}{a}$。两者都相符，所以根是正确的。

还要检查答案在实际情境中是否合理。在抛体的例子中，方程的一个根是负数，而抛出之前的负时间没有物理意义，所以只有正根回答了问题。关于长度、价格和数量的应用题，也常常出于同样的原因舍去一个根，值得写一句话说明理由。

你可以用一元二次方程计算器逐步对照，它会显示判别式、精确的根和顶点。

常见问题