配方法计算器

为什么是系数的一半再平方？

展开 $(x + p)^2$ 得到 $x^2 + 2px + p^2$。与 $x^2 + bx$ 比较，当 $2p = b$ 时中间项相符，所以 $p = b/2$，缺少的常数是 $p^2 = (b/2)^2$。从几何上看，$x^2 + bx$ 是一个边长为 $x$ 的正方形加上两个大小为 $x \times b/2$ 的长方形；面积为 $(b/2)^2$ 的角落小正方形正好把大正方形补完整。

首项系数不为 1 时

只从 $x^2$ 项和 $x$ 项中提出 $a$，常数项留在外面。在括号内配方，然后把减去的平方数移出括号时乘以 $a$。忘记这次乘法是最常见的错误：在例题中，括号内的 $-4$ 移到括号外变成 $-8$。

如果 $a$ 为负，抛物线开口向下，顶点是最大值点。计算器用同样的方式提出负系数，所以括号内的符号会改变。

用配方法解方程

对于 $x^2 - 4x - 1 = 0$，配方得到 $(x - 2)^2 = 5$。两边开平方并取正负两个符号，得到 $x - 2 = \pm\sqrt5$，所以 $x = 2 \pm \sqrt5$。用字母代替数字做同样的步骤，就得到求根公式。

当右边为负时，例如由 $x^2 + 6x + 13 = 0$ 得到 $(x + 3)^2 = -4$，就没有实数解。计算器会说明这一点，并给出允许 $\sqrt{-4} = 2i$ 时得到的一对复数解 $-3 \pm 2i$。

从顶点式读出图像

顶点式把抛物线描述为 $y = x^2$ 的变换。$h$ 使图像向右平移（$h$ 为负时向左），$k$ 使它向上或向下平移，$a$ 使它竖直方向伸缩，为负时还会上下翻转。对称轴是竖直直线 $x = h$，所以在 $h$ 两侧距离相等的点高度相同。

这让画草图变得很快。对于 $2(x - 2)^2 - 5$，先描出顶点 $(2, -5)$，再向两侧各走一个单位：高度增加 $a \cdot 1^2 = 2$，得到 $(1, -3)$ 和 $(3, -3)$。值域也立刻得出，是 $y \ge -5$，这就是为什么顶点式是解决定义域和值域问题的自然起点。