配方法分步指南

配方法背后的思想

完全平方三项式是一个二项式平方的展开式。展开 $(x + h)^2$ 得到 $x^2 + 2hx + h^2$：常数项等于 $x$ 的系数一半的平方。配方就是恰好加上这个常数，使表达式成为一个完全平方式。

例如，6 的一半是 3，且 $3^2 = 9$，所以 $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$。把右边展开得到 $x^2 + 6x + 9 - 9$，这就验证了结果。从几何上看，$x^2 + 6x$ 是一个 $x$ 乘 $x$ 的正方形加上两个 $3$ 乘 $x$ 的长条，缺少的那个角是一个 $3$ 乘 $3$、面积为 9 的小正方形。

带减号时同样适用。$-10$ 的一半是 $-5$，且 $(-5)^2 = 25$，所以 $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$。你加上的常数总是正数，因为它是一个平方；而括号内的符号与 $b$ 的符号相同。把这两点分清楚，就能避免后续步骤中的大多数错误。

用配方法解一元二次方程

1. 如果 $x^2$ 的系数不是 1，就把每一项都除以这个系数。
2. 把常数项移到等号右边。
3. 在等号两边同时加上 $(b/2)^2$。
4. 把左边写成 $(x + b/2)^2$，并化简右边。
5. 两边同时开平方，记住加上 $\pm$，然后解出 $x$。

首项系数不为 1 的情况

求根公式给出相同的结果：$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$。当一次项系数为奇数时，分数无法避免，但完全可以处理。对于 $x^2 + 5x - 1 = 0$，5 的一半是 $\frac{5}{2}$，所以 $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$，于是 $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$。

复数解

如果右边最后得到负数，方程就没有实数解，但配方法仍然可以求出复数解。

检验：$(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$，并且 $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$。

抛物线的顶点式

在作图中，配方法最常见的用途是把 $y = ax^2 + bx + c$ 化为顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点。由于平方永远不会是负数，当 $a > 0$ 时顶点是最低点，当 $a < 0$ 时顶点是最高点。

例 4 中最常见的错误是忘记把减去的 9 乘以提出的 $-2$。把你得到的顶点式重新展开，是一种快速的检验方法。

简便公式 $h = -\frac{b}{2a}$ 给出相同的顶点横坐标；配方法则说明了这个公式的来历。一元二次方程计算器会在给出根的同时给出顶点。

推导求根公式

对一般方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）进行配方，就得到求根公式，这也正是该公式总是成立的原因。

中间一步来自在两边同时加上 $\frac{b^2}{4a^2}$，并把 $-\frac{c}{a}$ 写成 $-\frac{4ac}{4a^2}$。关于如何解一元二次方程的指南说明了什么时候该用公式法、因式分解法或配方法。

圆及其他应用

同时对 $x$ 和 $y$ 配方，可以把圆的一般方程化为圆心半径式。

在微积分中，同样的步骤可以为诸如 $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$ 的积分做准备：把分母写成 $(x + 1)^2 + 4$，就得到 $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$。积分计算器在适用时会使用这种代换。

常见错误

• 只在等号一边加上 $(b/2)^2$。
• 首项系数不是 1 时，没有先除以它就开始配方。
• 开平方时忘记 $\pm$，从而丢掉一个解。
• 错把 $b^2$ 或 $b/2$ 当作 $(b/2)^2$。
• 读错顶点的符号：$(x - 3)^2$ 对应 $h = 3$，而 $(x + 3)^2$ 对应 $h = -3$。

可以在配方法计算器中尝试你自己的例子，它会展示上面的每一个步骤。

从配方结果中读取信息

一旦把二次式写成 $a(x - h)^2 + k$，无需进一步计算就能读出大量信息。顶点是 $(h, k)$，对称轴是竖直直线 $x = h$。值域也随之可得：如果 $a > 0$，最小值是 $k$，值域为 $[k, \infty)$；如果 $a < 0$，最大值是 $k$，值域为 $(-\infty, k]$。

与 x 轴交点的个数也可以随之得出。令 $a(x - h)^2 + k = 0$，得到 $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$。如果 $-\frac{k}{a}$ 为正，就有两个交点；如果它为零，顶点恰好与 x 轴相切；如果它为负，抛物线永远不与 x 轴相交。在例 3 中，$(x - 2)^2 = -3$ 没有实数解，这与开口向上、顶点高度为 3 的抛物线相符。在例 4 中，$-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ 给出 $(x - 3)^2 = 4$，所以交点是 $x = 1$ 和 $x = 5$。

最优化问题也用到同样的思想。如果以价格 $p$ 销售所得的利润为 $P = -2p^2 + 12p - 10$（单位为百美元），那么由例 4 可知，当 $p = 3$ 时利润最大，为 8 百美元。这里不需要微积分，因为平方项只会让函数值低于顶点的高度。

练习题及答案

先自己做，再看答案。每道题都用到上面例题中的某个步骤。

1. 解 $x^2 - 10x + 21 = 0$。答案：$(x - 5)^2 = 4$，所以 $x = 3$ 或 $x = 7$。
2. 解 $x^2 + 2x - 4 = 0$。答案：$(x + 1)^2 = 5$，所以 $x = -1 \pm \sqrt{5}$。
3. 把 $y = x^2 + 8x + 10$ 写成顶点式。答案：$y = (x + 4)^2 - 6$，顶点为 $(-4, -6)$。
4. 把 $y = 3x^2 - 6x + 1$ 写成顶点式。答案：$y = 3(x - 1)^2 - 2$，顶点为 $(1, -2)$。
5. 求 $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ 的圆心和半径。答案：$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$，圆心为 $(-1, 4)$，半径为 3。

如果答案对不上，就把你配方后的式子展开，与原式逐行比较；差异通常会准确地指出哪个常数加错或减错了。

为什么值得学习配方法

既然有了求根公式，人们自然会问为什么还要教配方法。答案是：它是一种变形方法，而不只是解题技巧。它把表达式改写成变量只出现在一个地方、即平方之内的形式。做到这一点后，表达式就很容易分析：它的最小值或最大值、对称性和零点都一目了然。

这一思想在数学中反复出现。圆、椭圆和双曲线等圆锥曲线，正是通过对两个变量配方来识别的。在统计学中，正态分布的密度函数的指数中含有一个配方后的平方式，推导它的许多性质也依赖于同样的代数运算。在微积分中，根号下或分母中含有二次式的积分，经过这一步后就会化为标准形式。物理学则用它来求能量函数的平衡点。

因此，在简单的二次式上练习配方，是在培养后续内容默认你已具备的技能。如果你能不看笔记完成例 1 到例 5，你就为这些用途做好了充分准备，也能应对要求写出配方过程而不只是给出根的考试题。

常见问题