如何因式分解多项式：分步方法清单

为什么因式分解很重要

因式分解一个多项式，就是把它写成若干个更简单的多项式的乘积。展开 $(x + 3)(x + 4)$ 得到 $x^2 + 7x + 12$；因式分解则是反方向进行。因式分解后的形式往往有用得多：它能立即给出方程的根，能通过约去公因式来化简分式，还能显示图像与 x 轴相交的位置。

每一个因式分解结果都可以通过把各因式重新乘开来检验。如果展开后不能准确还原原多项式，就说明哪里出了错，所以要养成这样检验的习惯。

因式分解清单

不同的老师和教材对这些方法的排列顺序略有不同，但下面这份清单适用于初级代数课程中的几乎所有多项式。按顺序使用，并对每个因式重复操作，直到无法再分解为止。

1. 提取所有项的最大公因式。
2. 数一数项数。两项：寻找平方差、立方和或立方差。
3. 三项：寻找完全平方三项式，然后用积与和搜索法或 AC 方法。
4. 四项：尝试分组分解。
5. 三次或更高次且没有明显规律：使用有理根检验和多项式除法。
6. 再次检查每个因式，然后乘开验证。

第 1 步：最大公因式

一定要从这里开始。找出能整除所有系数的最大的数，以及每个变量在所有项中都出现的最低次幂。

如果首项系数为负，就提出一个负的公因式。$-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ 比直接处理负的 $x^2$ 项容易得多。

首项系数为 1 的三项式

对于 $x^2 + bx + c$，找出两个数 $m$ 和 $n$，使 $mn = c$ 且 $m + n = b$。那么 $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$。

• $x^2 + 7x + 12$：3 和 4 的积为 12、和为 7，所以因式为 $(x + 3)(x + 4)$。
• $x^2 - 2x - 15$：$-5$ 和 3 的积为 $-15$、和为 $-2$，所以因式为 $(x - 5)(x + 3)$。
• $x^2 - 9x + 20$：取 $-4$ 和 $-5$，得到 $(x - 4)(x - 5)$。

符号可以提供捷径。如果 $c$ 为正，两个数的符号都与 $b$ 相同。如果 $c$ 为负，两个数异号，并且绝对值较大的那个数与 $b$ 同号。

首项系数任意的三项式：AC 方法

当 $a \neq 1$ 时，把 $a$ 乘以 $c$，找出积为 $ac$、和为 $b$ 的两个数，用它们拆分中间项，然后分组分解。

一个整系数三项式能在整数范围内分解，当且仅当 $b^2 - 4ac$ 是完全平方数。对于 $3x^2 - 10x + 8$，判别式为 $100 - 96 = 4$，是完全平方数，所以一定能找到这两个数。如果判别式不是完全平方数，就停止寻找，改用求根公式。

需要识别的特殊乘积公式

有三种模式出现得非常频繁，一眼认出它们会很有好处：

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$。
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$：两次使用平方差公式。
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$，因为 $4x^2 = (2x)^2$，$9 = 3^2$，并且 $12x = 2(2x)(3)$。
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$，$27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$。

像 $x^2 + 4$ 这样的两个平方之和在实数范围内不能分解。它的判别式是 $-16$，为负数。

四项式：分组分解

把多项式分成两组，分别提取每组的公因式，然后寻找公共的括号。

如果括号对不上，在放弃之前先试着把各项重新组合成不同的两组。

高次多项式：有理根检验

对于整系数多项式，任何化为最简形式的有理根 $\frac{p}{q}$ 都满足：$p$ 整除常数项，$q$ 整除首项系数。逐个检验候选值，直到某个值使多项式为零，然后把对应的因式除出来。

如果想对照，多项式计算器会逐步完成这个除法。

因式分解的常见错误

• 忘记提取最大公因式，结果留下一个更难的三项式和一个不完整的答案。
• 过早停止：$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ 还没有分解完，因为 $x^2 - 4$ 还能继续分解。
• 把 $a^2 + b^2$ 当作平方差来处理。
• 分组时符号出错：$-4x - 12 = -4(x + 3)$，而不是 $-4(x - 3)$。
• 不通过展开来检验。乘开只需几秒钟，就能发现上述每一种错误。

可以在因式分解计算器中尝试你自己的多项式，它会显示每一步用了哪种方法；还可以利用分解后的形式来化简分式。

如何判断多项式不能分解

并不是每个多项式都能在整数范围内分解，及早认识到这一点可以节省大量时间。对于整系数二次式 $ax^2 + bx + c$，计算判别式 $b^2 - 4ac$。如果它是完全平方数，这个二次式就能分解为有理系数的一次因式。如果它为正但不是完全平方数，根就是无理数，这个二次式称为在有理数范围内不可约；如果它为负，则在实数范围内根本无法分解。

例如，$x^2 + 3x + 1$ 的判别式为 $9 - 4 = 5$，不是完全平方数，所以不存在积为 1、和为 3 的一对整数。它的根 $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ 来自求根公式。平方和 $x^2 + 4$ 的判别式为 $-16$，在实数范围内不能分解，不过在复数范围内可以分解为 $(x - 2i)(x + 2i)$。

对于三次及更高次的多项式，有理根检验给出一个有限的候选清单。如果其中没有一个是根，这个多项式就没有有理系数的一次因式，不过四次多项式仍有可能分解为两个二次式的乘积。

因式分解在后续学习中的作用

因式分解不是一个孤立的知识点。解多项式方程依赖于零乘积性质：如果 $AB = 0$，那么 $A = 0$ 或 $B = 0$。化简分式依赖于约去公因式。求多项式图像与 x 轴的交点和符号变化，要直接用到分解后的形式；在微积分中，形如 $\frac{0}{0}$ 的极限也常常通过因式分解并约分来求解。

例如，$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 不能直接代入求值，但把分子分解为 $(x - 2)(x + 2)$ 并约分后剩下 $x + 2$，所以极限为 4。积分中的部分分式分解，也是从把分母完全分解开始的。

一定要通过展开来检验因式分解的结果。乘开比分解花的时间少，而且能立即发现符号错误。

要检验你自己的因式分解，可以把它输入因式分解计算器，或者用化简计算器把你的答案展开。

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