因式分解计算器：多项式分步因式分解

关于因式分解计算器

因式分解是把一个多项式改写成几个较简单的多项式的乘积。它是去括号的逆过程，也是代数中最常用的技能之一：可以用来解二次方程和三次方程、化简有理式、求函数图像的零点，以及为积分中的部分分式分解做准备。

本计算器可以分解一元多项式，例如 $6x^2 + 11x - 10$ 或 $x^4 - 16$ ，以及常见的二元形式，例如 $x^2 - 9y^2$ 或 $x^2 - 5xy + 6y^2$ 。它总是先提取最大公因式，然后寻找特殊形式，对于更高次的多项式再使用十字相乘法（AC 法）或有理根定理。在有理数范围内无法再分解的部分会注明为不可约，而不是不加解释地留在那里。

多项式因式分解是什么意思？

对多项式进行因式分解，就是把它写成乘积的形式，其中每个因式的次数都更低。例如 $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ 。把各因式乘回去就得到原多项式，这是检验任何因式分解最简单的方法。

当任何因式都不能再用有理系数分解时，因式分解才算完全。二次式 $x^2 - 2$ 在有理数范围内不可约，尽管它等于 $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ ，因为 $\sqrt2$ 是无理数。除非题目明确要求在实数或复数范围内分解，中学课程和本计算器都在有理数范围内进行分解。

如何使用因式分解计算器

输入多项式，乘方用 ^ 表示，例如 6x^2 + 11x - 10 或 x^3 - 8。
可以按任意顺序输入，也可以带括号，例如 (x + 1)(x + 2) + 3x；计算器会先把它展开并排序。
点击“因式分解”。第一步把多项式按降幂排列写成一般形式。
按方法步骤阅读：提取公因式、特殊形式或十字相乘法，对于三次或四次多项式还有有理根检验和综合除法。
最后查看完全因式分解的结果；如果想验证，可以用化简计算器把它展开。

公式

平方差公式

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

完全平方公式

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

立方和与立方差公式

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

十字相乘法（AC 法）

ax^2 + bx + c:\ \text{求 } m, n \text{ 使得 } mn = ac,\ m + n = b

把 $bx$ 拆成 $mx + nx$ ，再分组分解。

有理根定理

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

候选根是常数项的因数除以首项系数的因数。

例题详解: 三项式 6x² + 11x − 10

例题使用三项式 $6x^2 + 11x - 10$ ，这是首项系数不为 1 的典型情况，简单地试凑会很慢。计算引擎先计算 $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ ，再寻找乘积为 $-60$ 、和为 $11$ 的两个整数。

这两个整数是 $15$ 和 $-4$ 。把中间项拆成 $15x - 4x$ ，四项就可以两两分组，每组都含有一个相同的二项式因式。把答案乘回去即可验证。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

(3x - 2)(2x + 5)

我们对题目的理解

在有理数范围内分解多项式

6x^{2} + 11x - 10

分步解答

把多项式写成一般形式
$6x^{2} + 11x - 10$
使用十字相乘法（AC 法）
计算 a·c = 6·-10 = -60。找出乘积为 -60、和为 b = 11 的两个数：15 和 -4。
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
分组分解
把前两项和后两项分别分组，各组提取公因式，再提取公共的二项式。根是 -5/2 和 2/3。
写出完整的因式分解
$(3x - 2)(2x + 5)$

所用公式

平方差
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
完全平方三项式
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
立方和与立方差
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
有理根定理
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ 根} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

在有理数范围内，6x^2 + 11x - 10 可以完全分解为 (3x - 2)(2x + 5)。

验算

展开 (3x - 2)(2x + 5) 又得到 6x^2 + 11x - 10。

详细讲解

方法的顺序很重要

可靠的因式分解步骤总是从最大公因式开始。从 $2x^2 - 18$ 中提取 $2$ 后剩下 $x^2 - 9$ ，这时就能看出它是平方差。跳过这一步会掩盖这种形式，得到 $(2x - 6)(x + 3)$ 这样不完全的答案，其中仍含有公因数 2。

提取公因式之后，要观察多项式的形状。两项的式子可能是平方差或立方和、立方差；三项的式子可能是完全平方式或适用十字相乘法；四项的式子常常可以分组分解。对于三次及更高次的多项式，计算器检验有理根候选值，并用综合除法除去找到的每个根，每次使次数降低一次，结果与分组分解相同，例如 $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ 。

十字相乘法为什么成立

如果 $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ ，展开后得到 $pr = a$ 、 $qs = c$ 和 $ps + qr = b$ 。两个数 $ps$ 和 $qr$ 的乘积是 $pq rs = ac$ ，和是 $b$ 。所以寻找乘积为 $ac$ 、和为 $b$ 的两个数，正是在寻找交叉项，而分组分解可以还原出两个二项式。

如果不存在这样的整数对，这个二次式就没有有理根，在有理数范围内不可约。可以用判别式 $b^2 - 4ac$ 来确认：当且仅当它是完全平方数时，才存在有理系数的因式。

高次多项式

对于 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ 这样的三次式，有理根定理把候选值限定为 $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ 。检验发现 $x = 1$ 是一个根，综合除法后剩下 $x^2 - 5x + 6$ ，这个二次式可以分解为 $(x - 2)(x - 3)$ 。

没有有理根的四次式仍然可能分解为两个二次式的乘积，例如 $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ 。在判定四次式不可约之前，计算器会针对这种情况搜索整系数的二次式组合。

常见错误

忘记先提取最大公因式，导致因式分解不完全。
以为 $a^2 + b^2$ 能在实数范围内分解。平方和不借助复数是无法分解的。
立方公式中的符号错误： $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ，二次式的中间项是加号。
只做了一步就停下，例如把 $x^4 - 16$ 写成 $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ 就结束，而 $x^2 - 4$ 还可以继续分解。
提取负的首项系数时丢掉了因数 $-1$ 。

小贴士

一定要把各因式乘回去进行检验。
选择方法之前，先把多项式按降幂排列。
使用十字相乘法时，按从小到大的顺序有条理地列出 $ac$ 的因数对。
用判别式快速判断一个二次式能否在有理数范围内分解。
如果需要的是根而不是因式，就令每个因式等于零。

常见问题

任何多项式因式分解的第一步是什么？

提取所有项的最大公因式，包括变量的公共幂。其他方法都在剩下的部分上效果更好。

首项系数不为 1 的三项式怎样分解？

使用十字相乘法（AC 法）：计算 a 乘以 c，找出乘积等于它且和为 b 的两个数，把中间项拆成这两部分，再分组分解。

不可约是什么意思？

如果一个多项式不能写成若干个次数更低、系数为有理数的多项式的乘积，它就在有理数范围内不可约。例如 x 的平方加 1 和 x 的平方减 2 在有理数范围内都不可约。

计算器能分解三次和四次多项式吗？

能。它用有理根定理检验有理根，用综合除法把它们除去；对于四次式，还会搜索能否分解为两个整系数二次式的乘积。

能分解含两个变量的表达式吗？

能处理常见的二元形式：公共的单项式因式、齐次多项式（例如 x 的平方减 5xy 加 6 乘以 y 的平方）、平方差以及按一个变量分组。不支持含三个或更多变量的表达式。

因式分解和解方程有什么关系？

如果乘积等于零，那么至少有一个因式等于零。因此，把等于零的多项式进行因式分解，就能把一个难解的方程变成几个容易的方程。

为什么我的答案和课本上的写法不同？

因式可以按任意顺序出现，因数负一也可以在括号之间移动。把两种写法都展开；如果得到同一个多项式，那么两者都正确。

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在上方输入任意多项式，即可看到它的完全因式分解以及每一步背后的推理。

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