多项式计算器：除法、乘法与求根

Q: 多项式计算器支持哪些运算？

展开、加法、减法、乘法、带商和余式的长除法、用霍纳法在某个 x 值处求值，以及求实根。

Q: 怎样做多项式除法？

选择除法，把被除式输入为 P，除式输入为 Q。计算器会进行长除法，给出商、余式，以及“商加上余式除以除式”形式的答案。

Q: 什么是余数定理？

多项式 P 除以 x 减 c 时，余数等于 P(c)。所以在 c 处求多项式的值，是求余数或检验 c 是否为根的快捷方法。

Q: 多项式计算器会列出复根吗？

不会。求根模式只列出实根，并在多项式没有实根时加以说明。有理根是精确的，无理根以小数近似值显示。

Q: 什么是霍纳法？

一种通过嵌套乘法来求多项式值的方法，例如把 ax 的立方加 bx 的平方加 cx 加 d 写成 ((ax + b)x + c)x + d。它所需的运算更少，也比逐个计算各次幂更不容易出错。

Q: 多项式的次数是什么？

系数不为零的项中变量的最高次幂。它限制了多项式所能拥有的实根和转折点的个数。

Q: 系数可以是分数吗？

可以。分数和小数都会转换为精确分数，所有结果都保持精确。

关于多项式计算器

多项式是代数中最常见的函数：直线、抛物线、三次函数，以及一切由变量的整数次幂构成的函数。处理它们离不开几种反复出现的运算，例如把两个括号相乘、除以一次因式、代入一个值或求出零点。每一种都很机械，但多项式项数一多就很容易出错。

这个计算器可以对一元多项式进行七种运算：展开、加法、减法、乘法、长除法、在某一点求值以及求实根。系数以精确分数存储，所以长除法会得到精确的商和余式，有理根也会精确给出，而不是舍入后的小数。

什么是多项式？

关于 $x$ 的多项式是若干形如 $a x^n$ 的项之和，其中每个系数 $a$ 是一个数，每个指数 $n$ 是非负整数。 $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ 是多项式； $\frac1x$ 和 $\sqrt x$ 不是，因为它们的指数是负数或分数。

次数是系数不为零的项的最高指数，首项系数就是该项的系数。 $n$ 次多项式至多有 $n$ 个实根，它的图像至多有 $n - 1$ 个转折点，这些事实有助于在计算之前预判答案的样子。

如何使用多项式计算器

选择一种运算：展开、加、减、乘、除、求值或求根。
输入第一个多项式 P，例如 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5。
对于加、减、乘、除，输入第二个多项式 Q，例如 x - 2。
对于求值，在附加的输入框中输入 $x$ 的值。
点击“计算”，按步骤查看过程；长除法会展示每一次首项相除和相减。

公式

带余除法

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

余数定理

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

因式定理

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ 整除 } P(x)

霍纳法

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

例题详解: 用 x − 2 除 2x³ − 3x² + 4x − 5

例题用长除法计算 $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ 除以 $x - 2$ 。在每一步，引擎用剩余部分的首项除以 $x$ ，再用除式乘以所得的项，然后相减。

经过三轮，得到商 $2x^2 + x + 6$ 和余数 7，所以答案写作 $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ 。正如余数定理所预言，原多项式在 $x = 2$ 处的值也是 7。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

我们对题目的理解

用多项式长除法计算 P 除以 Q。

分步解答

把 P 写成标准形式
展开并合并同类项：次数 3，首项系数 2，常数项 -5。
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
把 Q 写成标准形式
次数 1，首项系数 1，常数项 -2
$Q(x) = x - 2$
用首项相除：(2x^3) ÷ (x) = 2x^2
用 Q 乘以 2x^2 再相减。新的余式：x^2 + 4x - 5。
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
用首项相除：(x^2) ÷ (x) = x
用 Q 乘以 x 再相减。新的余式：6x - 5。
$x\cdot(x - 2)$
用首项相除：(6x) ÷ (x) = 6
用 Q 乘以 6 再相减。新的余式：7。
$6\cdot(x - 2)$
当余式的次数小于除式的次数时停止
$\text{商 } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{余式 } 7$

所用公式

带余除法
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q 不能整除 P：余式为 7。

验算

验算：Q·商 + 余式等于 P。

详细讲解

乘法与展开

两个多项式相乘时，第一个多项式的每一项都要乘以第二个多项式的每一项，然后合并同类项。对于 $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ ，六个乘积合并后得到 $x^3 + 1$ ，即立方和。计算器在合并之前先展示完整的分配过程，确保不漏掉任何乘积，而漏项正是括号较长时出错的常见原因。

加法和减法只合并同次幂的系数。做减法时，第二个多项式每一项的符号都要改变，所以计算器在合并之前会明确写出取负后的多项式。

长除法及其用途

多项式长除法与数的长除法完全一样。当余式的次数小于除式的次数时就停止。除法可用于在已知一个根后对多项式因式分解、化简有理函数以及求斜渐近线： $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ 的商是 $x + 1$ ，所以图像趋近于直线 $y = x + 1$ 。

除以一次因式 $x - c$ 时，可以简化为只保留系数的综合除法。余数定理指出余数等于 $P(c)$ ，这是检验计算结果的快捷方法。

求根

在求根模式下，计算器先检验有理数候选值 $\frac pq$ ，其中 $p$ 整除常数项， $q$ 整除首项系数。每找到一个根就把它除掉，使次数降低。剩下的二次式用求根公式求解，而剩下的更高次不可约部分则用数值方法求解，结果会标明是近似值。对于 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ，根 1、2 和 3 都是精确的；对于 $x^3 - 2$ ，唯一的实根 $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ 以小数显示。

只列出实根。像 $x^2 + 2x + 5$ 这样的多项式判别式为负，所以计算器会报告它没有实根。

常见错误

长除法中漏写缺少的幂；应写成 $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ ，让各列对齐。
长除法中只减去第一项，而不是整个乘积。
减去一个多项式时忘记改变每一项的符号。
项相乘时把指数相乘而不是相加： $x^2 \cdot x^3 = x^5$ 。
写余式时漏掉除式；单独的 $+7$ 与 $+\frac{7}{x - 2}$ 不同。

小贴士

进行任何运算之前，先把两个多项式都按降幂排列。
用商乘以除式再加上余式，来检验除法。
用余数定理快速检验一个可能的根：如果 $P(c) = 0$ ，那么 $x - c$ 就是一个因式。
用函数图像计算器画出图像，看看应有几个实根。
想把多项式写成乘积形式时，使用因式分解计算器。

常见问题

多项式计算器支持哪些运算？