定义域和值域计算器：用区间表示法分步求解

关于定义域和值域计算器

在画函数图像、求反函数或解与它有关的方程之前，你需要知道它接受哪些输入、能产生哪些输出。这两个集合就是定义域和值域。求定义域主要是找出不允许的运算；求值域则更难，因为它问的是图像实际能达到哪些高度。

这个计算器可以求多项式函数、分式函数、根式函数、对数函数、指数函数、绝对值函数和基本三角函数的定义域与值域。它列出每个限制条件并逐一求解，然后在定义域的每一段上研究函数，从而拼出值域。答案用区间表示法给出，端点尽可能用精确值表示。

什么是定义域和值域？

函数的定义域是使公式得到实数的所有输入 $x$ 组成的集合。值域是 $x$ 取遍定义域时得到的所有输出 $f(x)$ 组成的集合。在图像上，定义域是曲线在 $x$ 轴上的投影，值域是它在 $y$ 轴上的投影。

在实数范围内，有三种运算会带来限制：除法要求分母不为零；偶次方根要求被开方数非负；对数要求真数为正。不含这些运算的函数，例如任何多项式，其定义域都是全体实数。

如何使用定义域和值域计算器

输入关于 $x$ 的函数，例如 (x + 1)/(x - 2)、sqrt(x - 3) 或 log(x + 2)。
点击“求定义域和值域”。
阅读限制条件列表，以及每个条件的求解过程。
跟着求值域的步骤走，这些步骤会在定义域的每个区间上考察函数。
复制用区间表示法写出的定义域和值域。

公式

分母

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

偶次方根

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

对数

\ln u(x):\; u(x) > 0

抛物线的顶点

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

例题详解: (x + 1)/(x − 2)

例题分析 $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ 。唯一的限制是分母不能为零，所以要从定义域中去掉 $x = 2$ 。

求值域时，引擎分别考察这个缺口两侧的部分。在两段上，函数都无限接近水平渐近线 $y = 1$ ，但永远不等于它，所以值域中只缺 1 这一个值。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

我们对题目的理解

求使 f(x) = (x + 1) / (x - 2) 有意义的所有实数 x（定义域），以及它能取到的所有值（值域）。

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

分步解答

写出函数
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
列出限制条件
分母 (x - 2) 不能等于 0。
解 (x - 2) ≠ 0
该表达式只可能在 2 处变号。在每个区间内各取一个值检验，得到解集 (-∞, 2) ∪ (2, ∞)。
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
(-∞, 2) 上的值域
当 x → -∞, f → 1；当 x → 2⁻, f → -∞。该区间内没有极值点，因此 f 在这里单调或为常数。函数在该区间上连续，所以取遍最低 (-∞, 取不到) 与最高 (1, 取不到) 之间的所有值。
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
(2, ∞) 上的值域
当 x → 2⁺, f → ∞；当 x → ∞, f → 1。该区间内没有极值点，因此 f 在这里单调或为常数。函数在该区间上连续，所以取遍最低 (1, 取不到) 与最高 (∞, 取不到) 之间的所有值。
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
合并各部分
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

所用公式

限制条件
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

定义域的求法是：解出公式中的每一个限制条件，再取各解集的交集。值域由连续性得出：在定义域的每个区间上，函数取遍其最值与区间端点处极限之间的所有值。

验算

已在约 4,000 个样本点上检验定义域：f 恰好在定义域内为有限实数 ✓
f 的所有样本值都落在算出的值域内 ✓

详细讲解

求定义域

从全体实数出发，去掉不允许的部分。令每个分母不等于零，每个平方根下的式子大于或等于零，每个对数的真数大于零，再取这些结果的交集。对于 $\sqrt{4 - x^2}$ ，条件 $4 - x^2 \geq 0$ 给出 $[-2, 2]$ 。对于 $\frac{1}{x^2 - 4}$ ，要去掉两个点，所以定义域分成三个区间。

不要先化简。 $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 可以约分成 $x + 1$ ，但原函数仍然不允许 $x = 1$ ，计算器给出的定义域会保留这个缺口。

求值域

值域取决于图像的形状。抛物线在顶点处取得最值： $x^2 - 4x + 1$ 的顶点在 $x = 2$ 处，函数值为 $-3$ ，所以值域是 $[-3, \infty)$ 。平方根从零开始增大，所以 $\sqrt{x - 3}$ 的值域是 $[0, \infty)$ 。对数函数能取到所有实数， $e^x$ 能取到所有正数。

对于分式函数，计算器逐段处理，找出函数在哪里递增、在哪里递减，以及在每个区间端点处趋近于什么。正是这样，它求出 $\frac{1}{x^2}$ 的值域是 $(0, \infty)$ ，而 $\frac{x}{x^2 + 1}$ 的值始终介于 $-\frac12$ 与 $\frac12$ 之间。如果值域无法可靠地确定，例如 $\tan x$ 的情形，计算器会说明没有求出值域，而不是去猜测。

读懂区间表示法

方括号表示包含端点，圆括号表示不包含端点；无穷大一律用圆括号。符号 $\cup$ 把分开的几段连接起来，所以 $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ 表示除 2 以外的所有实数。这样书写结果，便于和图像对照检查。

常见错误

求定义域之前先化简分式函数，结果漏掉了一个“洞”。
对平方根用 $> 0$ （其实零是允许的），或对对数用 $\geq 0$ （零是不允许的）。
因为定义域是全体实数，就以为值域也是全体实数。
忘记水平渐近线可能使某个值不在值域中。
在无穷大旁边使用方括号。

小贴士

解题之前，先写下所有分母、被开方数和对数的真数。
用函数作图计算器画出图像，直观地确认值域。
对于二次函数，先求顶点；值域从顶点的 $y$ 值开始或到它为止。
记住： $f$ 的值域就是它的反函数的定义域。
把端点代入函数，检验它是否成立。

常见问题

怎样求函数的定义域？

从全体实数出发，去掉使分母为零、使偶次根号下为负数、或使对数真数不为正的值。剩下的就是定义域。

怎样求函数的值域？

利用函数的顶点、渐近线、单调性以及在定义域每一段两端的变化趋势，确定函数实际能取到哪些输出值。

多项式的定义域是什么？

全体实数，写作 (−∞, ∞)，因为多项式中没有除以 x 的运算，也没有根式或对数。

为什么 1 不在 (x + 1)/(x − 2) 的值域中？

图像有一条水平渐近线 y = 1。解方程 (x + 1)/(x − 2) = 1 会得到 1 = −2，这是不可能的，所以函数永远不会输出 1。

区间表示法中的括号是什么意思？

方括号表示包含端点，圆括号表示不包含端点。无穷大永远不被包含，所以总是用圆括号。

计算器能处理三角函数吗？

基本情形可以。它能求出 sin x 的值域是 [−1, 1]，tan x 的定义域要去掉 π/2 加上 π 的整数倍；如果没有求出值域，它会加以说明。

计算器中的 log 表示什么？

log(x) 表示自然对数，所以 log(x + 2) 在 x > −2 时有定义，并且能取到所有实数值。

求定义域和值域

在上方输入一个函数，即可得到用区间表示法写出的两个集合，以及每个限制条件的说明。

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