如何求函数的定义域和值域

定义与记号

函数从一个称为定义域的集合中取出每个输入，并为它指定唯一的一个输出。实际出现的所有输出组成的集合就是值域。对于 $f(x) = x^2$，任何实数都可以平方，所以定义域是全体实数；但平方永远不会是负数，所以值域是 $[0, \infty)$。

定义域和值域通常用区间表示。方括号表示包含端点，圆括号表示不包含端点；无穷大总是用圆括号。分开的几段用并集符号 $\cup$ 连接，所以“除 3 以外的全体实数”写作 $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$。集合描述法，例如 $\{x \mid x \neq 3\}$，用文字形式表达同样的意思。

如果函数只给出了解析式而没有其他说明，它的定义域就是隐含的自然定义域：使解析式有意义的最大实数集合。题目也可以有意限制定义域，例如在应用题中，长度不能为负数。

把函数想象成一台机器会很有帮助。定义域是这台机器能顺利接受、不会卡住的输入清单，值域则是所有可能产出的结果清单。解析式相同但定义域不同的两个函数，严格来说是不同的函数，这就是为什么定义域是函数定义的一部分，而不是事后补充。

求定义域：三种限制

对于代数和预备微积分中遇到的函数，实数输入只可能在三种情况下出问题。逐一检查，并排除导致问题的那些值。

1. 除以零：分母不能等于零。
2. 负数的偶次方根：平方根、四次方根等根号下的表达式必须大于或等于零。奇次方根，例如立方根，接受任何实数。
3. 非正数的对数：对数的真数必须严格大于零。

像 $3x^4 - x + 7$ 这样的多项式不包含上述任何特征，所以它们的定义域是全体实数 $(-\infty, \infty)$。$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$|x|$ 和立方根也是如此。

定义域例题

例 3 用到了不等式两边除以负数的规则。关于解不等式的指南解释了这条规则，并介绍了处理诸如 $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$ 这类条件的符号表。

当函数同时具有几种特征时，把每个条件分别列出、分别求解，然后取结果的交集。大多数错误来自漏掉某个条件，而不是解错。

用代数方法求值域

值域往往更难求，因为它问的是哪些输出是可能的，而不是哪些输入是允许的。三种方法可以解决大多数情况。

第一，利用基本函数的已知值域。平方根和绝对值永远不会是负数，$e^x$ 总是正数，$\sin x$ 和 $\cos x$ 始终介于 $-1$ 和 $1$ 之间。函数变换会平移或伸缩这些值域。对于 $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$，根式给出 $[0, \infty)$，乘以二后仍为 $[0, \infty)$，再加 1 得到 $[1, \infty)$。

第二，对于二次函数，用配方法求出顶点。由于平方永远不会是负数，顶点的高度就是最小值或最大值。

第三，从 $y = f(x)$ 中解出 $x$，再找出哪些 $y$ 值能给出定义域中有效的 $x$。

用同样的方法可以求出 $\frac{1}{x^2 + 1}$ 的值域。分母至少为 1，所以输出至多为 1；输出总是正数，但可以任意接近 0。值域是 $(0, 1]$。

从图像读出定义域和值域

在图像上，定义域是曲线在 x 轴上的投影，值域是它在 y 轴上的投影。从左到右扫描可得定义域，从下到上扫描可得值域。实心点表示包含该端点，空心点表示不包含该点，箭头表示图像无限延伸。

竖直渐近线标出了定义域中缺失的值，水平渐近线则常常标出值域中缺失的值，就像例 6 那样。不过要注意：图像可能与水平渐近线相交，所以仅凭渐近线并不能证明某个值被排除。绘图计算器是先直观看到这些特征、再用代数方法确认的好工具。

分段函数与实际情境

对于分段函数，定义域是各段定义区间的并集，值域是各段输出的并集。设当 $x < 0$ 时 $f(x) = x + 2$，当 $x \ge 0$ 时 $f(x) = 3$。定义域是全体实数。第一段产生所有小于 2 的值，第二段只产生 3，所以值域是 $(-\infty, 2) \cup \{3\}$。

在应用问题中，实际情境会进一步限制定义域。正方形的面积公式 $A = s^2$ 作为解析式接受任何实数 $s$，但边长必须为正，所以实际定义域是 $s > 0$，值域是 $A > 0$。抛出的球的高度只在从抛出到落地这段时间内有意义，因此即使高度的二次公式处处有定义，它的定义域也是一个闭的时间区间。

后续内容中的定义域和值域

这些概念会不断出现。函数在其一一对应的定义域上存在反函数，而反函数会交换定义域和值域，详见反函数。复合函数 $f(g(x))$ 要求 $g$ 的每个输出都落在 $f$ 的定义域内，参见函数复合。对数一文介绍的对数函数和指数函数，是定义域与值域互换的经典一对。

常见错误

• 先化简再求定义域。$\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ 可以化简为 $x + 3$，但对原函数来说，$x = 3$ 仍然要被排除。
• 对平方根使用 $>$ 而不是 $\ge$，错误地去掉了根式等于零的端点。
• 对对数使用 $\ge$ 而不是 $>$，错误地包含了真数为零的情况。
• 因为定义域是全体实数，就以为值域也是全体实数。
• 在无穷大旁边使用方括号。

要检查答案，可以试试定义域和值域计算器，它会列出找到的每一个限制条件以及由此得到的区间。

常见问题