如何解不等式并用区间表示答案

不等号与答案的形式

不等式用四种符号之一来比较两个表达式：$<$（小于）、$>$（大于）、$\le$（小于或等于）和 $\ge$（大于或等于）。它的解通常是无穷多个数构成的集合，所以答案写成不等式、数轴上的图示或区间。

• $x < 5$ 就是区间 $(-\infty, 5)$；圆括号表示不包含 5，在数轴上用空心圆点表示。
• $x \le 3$ 是 $(-\infty, 3]$；方括号表示包含 3，用实心圆点表示。
• $-2 \le x < 4$ 是 $[-2, 4)$。
• 无穷大总是用圆括号，因为它不是一个可以被包含的数。

与方程不同的唯一规则

和解方程完全一样，你可以在两边同时加上或减去任何数，也可以在两边同时乘以或除以一个正数。但是，两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。

要理解其中的原因，可以从真命题 $-2 < 3$ 出发，两边同时乘以 $-1$。得到 $2$ 和 $-3$，而 $2 > -3$。乘以负数相当于把数轴翻转过来，于是哪一边更大也随之对调。交换不等式两边时也是如此：$5 > x$ 与 $x < 5$ 的意思相同。

一元一次不等式

在边界两侧各取一个值测试只需十秒钟，每次都能发现忘记改变不等号方向的错误。

复合不等式：“且”与“或”

像 $-3 \le 2x + 1 < 9$ 这样的连不等式，表示两个条件同时成立。解法是对三个部分同时进行相同的运算。

答案是 $[-2, 4)$，即两个条件的重叠部分。“或”的命题，例如 $x < -1$ 或 $x \ge 3$，是两部分的并集，写作 $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$。

绝对值不等式

绝对值 $|A|$ 是 $A$ 到零的距离。距离小于 $k$ 意味着离零很近，得到一个区间；距离大于 $k$ 意味着离零很远，得到两部分。当 $k > 0$ 时：

如果 $k$ 是负数，那么 $|A| < k$ 无解，而 $|A| > k$ 对每个实数都成立，因为绝对值永远不会是负数。

用符号表解一元二次不等式

不要试图对不等式两边直接开平方。而是把所有项移到一边，找出表达式等于零的点，再检验这些点之间的符号。

从图像上看，$y = x^2 - x - 6$ 是一条开口向上的抛物线，在两根之外位于 x 轴上方，这与符号表的结果一致。如果根不容易通过因式分解求出，可以用一元二次方程计算器来求。

分式不等式

对于分母中含有未知数的不等式，永远不要把两边同时乘以这个分母：你不知道它是正还是负。应该改用符号表，标出分子和分母的零点。

二元不等式

像 $y > 2x + 1$ 这样的不等式描述的是平面上的一个区域。画出边界线 $y = 2x + 1$，严格不等式用虚线，$\le$ 或 $\ge$ 用实线，然后给满足不等式的一侧涂上阴影。用原点测试最快：$0 > 1$ 不成立，所以给不包含 $(0, 0)$ 的那一侧涂阴影。绘图计算器可以直接画出这样的不等式阴影区域。

常见错误

• 乘以或除以负数后忘记改变不等号方向。
• 乘以一个符号未知的含未知数的式子。
• 把 $|x - 4| < 3$ 只写成 $x - 4 < 3$，丢掉了下界。
• 在无穷大旁边使用方括号，或者在端点处用错了括号。
• 把使分母为零的值包含在答案中。

不等式计算器会显示每一步以及区间表示。关于全文用到的解方程步骤，请参见如何解一元一次方程。

含不等式的应用题

只要情境中有上限、最低要求或预算，就会出现不等式。“至少”“不超过”“至多”和“超过”这样的词语提示了该用哪个符号：“至少”表示 $\ge$，“至多”和“不超过”表示 $\le$，“超过”或“多于”表示 $>$。

实际情境增加了一个单靠代数得不到的限制条件。实际问题常常需要 $t \ge 0$ 或整数条件，所以在写出最终区间之前，一定要问问哪些值是合理的。

检查区间形式的答案

不等式的答案有三个部分都可能出错：边界值、每个边界是否包含在内，以及保留边界的哪一侧。按这个顺序检查。把每个边界值代入原不等式，看它是否使两边相等，这能告诉你端点是否属于答案。然后在答案的每个区间内取一个值测试，再在区间外取一个值测试。

在分式不等式的例子中，$x = 1$ 得到 $\frac{0}{3} = 0$，而 $0 \le 0$ 成立，所以包含 1。在 $x = -2$ 处表达式无意义，所以即使不等式允许取等号，也要排除 $-2$。这两项检查确认了 $(-2, 1]$ 中的括号是正确的。

常见问题