反函数：如何求出、画出并验证反函数

反函数的作用

函数接收一个输入并产生一个输出。它的反函数记作 $f^{-1}$，把这个过程倒过来：接收 $f$ 的一个输出，返回产生这个输出的输入。如果 $f(a) = b$，那么 $f^{-1}(b) = a$。先做一个、再做另一个，就会回到起点。

一个简单的日常例子是温度换算。函数 $F = \frac{9}{5}C + 32$ 把摄氏温度换算成华氏温度。它的反函数 $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ 则换算回来。把 37 摄氏度代入前者得到 98.6 华氏度，再把 98.6 代入后者又得到 37。

记号需要注意。$f^{-1}$ 中的 $-1$ 不是指数。反函数 $f^{-1}(x)$ 与倒数 $\frac{1}{f(x)}$ 不同。对于 $f(x) = 2x$，反函数是 $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$，而倒数是 $\frac{1}{2x}$。

反函数什么时候存在？

只有当每个输出都恰好来自一个输入时，函数才能被反过来。这样的函数称为一一对应的函数，或单射。如果两个不同的输入给出相同的输出，就无法知道该返回哪个输入，因此在这个定义域上不存在反函数。

函数 $f(x) = x^2$ 在全体实数上不满足这一条件，因为 $f(3) = f(-3) = 9$。要撤销 9 时，反函数无法知道该返回 3 还是 $-3$。从图像上看，这就是水平线检验：当且仅当没有任何水平直线与函数图像相交超过一次时，函数是一一对应的。直线 $y = 9$ 与抛物线 $y = x^2$ 相交两次，所以抛物线不满足条件。

始终递增或始终递减的函数自动满足这一条件。斜率不为零的一次函数、$x^3$、$e^x$ 和 $\ln x$ 在各自的自然定义域上都是一一对应的。

如何用代数方法求反函数

1. 把 $f(x)$ 换成 $y$。
2. 把所有的 $x$ 和 $y$ 互换。
3. 从新方程中解出 $y$。
4. 把 $y$ 换成 $f^{-1}(x)$，并写出它的定义域，即 $f$ 的值域。

互换后如果 $y$ 出现不止一次，就把所有含 $y$ 的项移到一边，再提出 $y$，就像例 3 那样。

限制定义域

一个不是一一对应的函数，如果把定义域限制在它一一对应的某一段上，仍然可以有反函数。平方根函数和反三角函数正是这样定义的。

把 $f(x) = x^2$ 限制在 $x \ge 0$ 上，只保留抛物线的右半部分，它是一一对应的。它的反函数是 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$，其中 $x \ge 0$。如果改选 $x \le 0$，就会得到 $-\sqrt{x}$。

反三角函数也是同样的道理。正弦函数不是一一对应的，所以 $\arcsin x$ 被定义为限制在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的正弦函数的反函数。这就是为什么 $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$，而不是 $\frac{5\pi}{6}$：答案必须落在受限的区间内。

指数函数与对数函数

预备微积分中最重要的一对反函数是 $e^x$ 和 $\ln x$：对每个实数 $x$，$\ln(e^x) = x$；对 $x > 0$，$e^{\ln x} = x$。更一般地，$\log_b x$ 是 $b^x$ 的反函数。对数指南从这一事实出发推导出了对数的全部运算法则。

反函数的图像

由于反函数交换了输入和输出，$f$ 的图像上的每个点 $(a, b)$ 都变成 $f^{-1}$ 的图像上的点 $(b, a)$。从几何上看，交换坐标就是关于直线 $y = x$ 作对称。所以反函数的图像就是原函数图像关于这条对角线的镜像。

这提供了一种快速画出反函数图像的方法，也是一种有用的检验：$e^x$ 和 $\ln x$ 的图像互为镜像，$x^3$ 和 $\sqrt[3]{x}$ 也是如此。图像的特征也会互换。$f$ 的水平渐近线变成 $f^{-1}$ 的竖直渐近线，例 3 中正是如此。在绘图计算器上把两个函数和直线 $y = x$ 一起画出来，对称性就一目了然。

验证反函数

要证明两个函数互为反函数，就把它们按两种顺序复合并化简。如果在相应的定义域上两个复合结果都等于 $x$，这两个函数就互为反函数。对于例 3：

一种更快的非正式检验是：任选一个输入，先作用 $f$，再作用你求出的反函数，看能否得到原来的输入。这并不能证明解析式正确，但能发现大多数错误。函数复合指南对复合有更详细的讲解。

微积分中的反函数

如果 $f$ 可导且一一对应，那么反函数在某点处的斜率等于 $f$ 在对应点处斜率的倒数。如果 $f(a) = b$ 且 $f'(a) \neq 0$，那么：

对于 $f(x) = x^3 + x$，有 $f(1) = 2$，$f'(x) = 3x^2 + 1$，所以 $f'(1) = 4$，$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$。即使求出 $f^{-1}$ 的解析式非常困难，这个方法照样适用。这也是 $\ln x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 的原因，因为 $\ln$ 是 $e^x$ 的反函数。

常见错误

• 把 $f^{-1}(x)$ 当作 $\frac{1}{f(x)}$。
• 忘记互换 $x$ 和 $y$，结果只是把原函数重新整理了一遍。
• 对不是一一对应的函数求反函数解析式，却没有限制它的定义域。
• 限制定义域后，平方根的正负号选错。
• 没有写出反函数的定义域，而它应当等于原函数的值域。

反函数计算器会显示互换和求解的步骤，并通过复合来检验结果。

表格中的反函数与实际应用

并不总是需要解析式。如果一张表列出了一个一一对应的函数，交换两列就得到它的反函数。假设一家快递公司按重量收费，价格表显示 1 千克收费 6 美元，2 千克收费 9 美元，3 千克收费 12 美元。反过来的表回答的是相反的问题：已知顾客付了多少钱，包裹有多重？付 9 美元意味着包裹重 2 千克。如果两个重量的价格相同，这个反向问题就没有唯一的答案，这正是一一对应条件在实际情境中的体现。

许多实际公式会在两个方向上使用。贷款计算器根据借款金额计算每月还款额，而它的反函数告诉你，以你能承受的还款额可以借多少钱。按份数缩放的食谱可以反过来，求出一定量的面粉能做多少份。在科学中，校准曲线把已知浓度转换为仪器读数，而反函数则把测得的读数转换回浓度。每一次，反函数之所以有用，正是因为原来的关系在相关的取值范围内是一一对应的。

这样看待反函数，也会让代数步骤显得很自然。互换 $x$ 和 $y$ 只是简洁地表示输入和输出的角色已经交换，而解出 $y$ 就是在回答那个反向的问题。

常见问题