复合函数计算器：分步求 f(g(x))

关于复合函数计算器

复合把两个函数串联起来，使一个函数的输出成为另一个函数的输入。复杂的公式正是这样由简单的公式搭建起来的： $\sqrt{x - 4}$ 是先减去 4 再开平方， $(2x - 3)^2 + 1$ 是先做一次线性变换，再平方并加一。看出这些层次，对于链式法则、反函数以及分阶段进行的过程建模都至关重要。

这个计算器把一个函数代入另一个函数，展开并化简结果，并求出复合函数的定义域，包括从内层函数继承来的限制。如果你给出一个值，它还会在该点由内向外求出复合函数的值，让你看到这个数依次经过每个函数时是如何变化的。

什么是复合函数？

$f$ 与 $g$ 的复合记作 $(f \circ g)(x)$ ，定义为 $f(g(x))$ ：先作用 $g$ ，再把 $f$ 作用于所得结果。写在右边的函数先起作用，这与阅读顺序正好相反。

函数复合不满足交换律。对于 $f(x) = x^2$ 和 $g(x) = x + 1$ ，有 $f(g(x)) = (x + 1)^2$ ，而 $g(f(x)) = x^2 + 1$ 。函数也可以与自身复合： $f \circ f$ 表示把 $f$ 连续作用两次。

如何使用复合函数计算器

输入外层函数 f(x) 和第二个函数 g(x)，两者都用 $x$ 表示。
选择复合方式：f∘g、g∘f、f∘f 或 g∘g。
可以另外输入一个 $x$ 的值，求复合函数在该点的值。
点击“计算”，查看代入过程、化简结果和定义域。
与相反的复合顺序比较，看看结果有什么变化。

公式

定义

(f \circ g)(x) = f(g(x))

复合函数的定义域

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

结合律

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

反函数检验

f(f^{-1}(x)) = x

例题详解: f(g(x))，f = x² + 1，g = 2x − 3，在 x = 2 处

例题取 $f(x) = x^2 + 1$ 和 $g(x) = 2x - 3$ ，构造 $f \circ g$ 。把 $f$ 中的每个 $x$ 都换成整个式子 $2x - 3$ ，得到 $(2x - 3)^2 + 1$ ，展开后为 $4x^2 - 12x + 10$ 。

例题还在 $x = 2$ 处求值。分步计算， $g(2) = 1$ ， $f(1) = 2$ ；用化简后的公式计算得 $16 - 24 + 10 = 2$ ，结果相同。两个函数都是多项式，所以定义域是全体实数。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

我们对题目的理解

求 (f ∘ g)(x) = f(g(x))，并计算它的值。

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

分步解答

写出两个函数
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) 表示 f(g(x))：把 f 中的每个 x 都换成 g(x)
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
代入
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
展开并合并同类项
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
定义域：x 必须在 g 中有意义，且 g(x) 必须在 f 中有意义
$\text{定义域 } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
在 x = 2 处由内向外求值：先算 g(2) = 1
$g(2) = 1$
再算 f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

所用公式

复合函数
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

复合函数把 g 的输出作为 f 的输入。顺序很重要：f∘g 先作用 g，通常与 g∘f 不同。定义域要在化简之前确定，因为约去公因式可能会掩盖复合函数不能取的值。

验算

已验证：f(g(x)) 与最终公式在样本点上结果一致。
已验证：化简后的公式在 x = 2 处同样得到 2。

详细讲解

正确地代入

最稳妥的做法是先把外层函数中的 $x$ 换成空括号，例如 $f(\;) = (\;)^2 + 1$ ，再把整个内层式子填进每一对括号。括号必不可少：把 $x^2$ 中的 $x$ 换成 $2x - 3$ ，得到的是 $(2x - 3)^2$ ，而不是 $2x - 3^2$ 。

代入之后，再展开并合并同类项。计算器先显示未化简的代入结果，方便你与自己的过程对照，然后给出化简后的形式。

求定义域

一个输入属于 $f \circ g$ 的定义域，当且仅当 $g$ 接受它，并且 $f$ 接受 $g$ 的输出。对于 $f(x) = \sqrt{x}$ 和 $g(x) = x - 4$ ， $g$ 接受任何数，但 $f$ 要求输入非负，所以 $x - 4 \geq 0$ ，定义域为 $[4, \infty)$ 。

即使化简把内层函数的限制掩盖了，这些限制依然存在。取 $f(x) = x^2$ 和 $g(x) = \sqrt{x}$ ，复合函数化简为 $x$ ，但只允许 $x \geq 0$ ，因为 $g$ 必须先有意义。所以定义域要根据两个阶段来求，而不能只看最终的公式。

复合函数的用途

微积分中的链式法则就是对复合函数求导： $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ 。使用它的第一步就是认出内层函数和外层函数。复合还可以描述单位换算、连续多次的百分比变化以及图像变换： $f(x - 2)$ 就是 $f$ 与“向右平移两个单位”的复合。

分解是反过来的技能：给定 $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ ，选取内层函数 $g(x) = 3x + 7$ 和外层函数 $f(x) = \sqrt{x}$ ，使 $h = f \circ g$ 。合理的选法通常不止一种，最好的拆分是让下一步（例如求导或求反函数）最简单的那种。用计算器从两个方向反复练习，就能养成把函数看成层层嵌套的习惯。

常见错误

作用顺序弄反；在 $f(g(x))$ 中，内层函数 $g$ 先起作用。
把两个函数相乘而不是复合： $f(g(x))$ 不等于 $f(x)\,g(x)$ 。
代入时漏掉括号，导致指数和符号出错。
只根据化简后的公式求定义域，丢掉了内层函数带来的限制。
以为 $f \circ g = g \circ f$ ；两种顺序都要检验。

小贴士

取一个简单的数分步求值，用来检验化简后的复合函数。
代入之前，先把外层函数写成带空括号的形式。
先列出内层函数的定义域条件，再列外层函数的。
用反函数计算器求出反函数后，再复合一次，确认 $f(f^{-1}(x)) = x$ 。
用链式法则求导之前，先指出内层函数和外层函数。

常见问题

f(g(x)) 是什么意思？

意思是先把 g 作用于 x，再把 f 作用于所得结果。这个复合函数记作 f∘g，右边的函数总是先起作用。

f∘g 和 g∘f 一样吗？

通常不一样。对于 f(x) = x² 和 g(x) = x + 1，f(g(x)) = (x + 1)²，而 g(f(x)) = x² + 1。计算器可以让你把两种顺序都算出来。

怎样求复合函数的定义域？

先取内层函数允许的输入，再只保留那些输出被外层函数允许的输入。即使化简后的公式掩盖了内层函数的限制，这些限制依然有效。

函数可以与自身复合吗？

可以。选择 f∘f 或 g∘g 即可。对于 f(x) = 2x + 1，f(f(x)) = 4x + 3，所以 f(f(3)) = 15。

复合函数与链式法则有什么关系？

链式法则就是对复合函数求导：f(g(x)) 的导数等于 f′(g(x)) 乘以 g′(x)。第一步是认出内层函数和外层函数。

计算器能求复合函数在某一点的值吗？

能。输入一个 x 的值，它会由内向外求值：先求内层函数在该值处的值，再求外层函数在所得结果处的值。把同一个值代入化简后的公式，应当得到相同的数。

怎样检验两个函数互为反函数？

按两种顺序分别复合。如果在相应的定义域上 f(g(x)) 和 g(f(x)) 都化简为 x，这两个函数就互为反函数。

复合你的函数

在上方输入 f(x) 和 g(x)，即可看到复合函数的化简结果、求值结果和定义域。

使用计算器询问 AI 解题器

复合函数计算器