化简计算器：分步化简代数式

关于化简计算器

化简是代数中的日常整理工作。在解方程、画图或比较表达式之前，通常需要先把它们整理成干净的标准形式：去掉括号、合并同类项、约分。手工完成这些主要靠细心记录，丢掉一个符号就会使结果出错。

本计算器可以化简一元或多元的整式，例如 $3(x + 2) - 2(x - 1)$ 或 $(a + b)^2 - (a - b)^2$ ；可以化简含分数的数值表达式；还可以化简一元分式，例如 $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ ，这时它会因式分解、约去公因式，并指出必须排除的值。

化简表达式是什么意思？

如果两个表达式对每个允许的输入都给出相同的值，它们就是等价的。化简就是用一个更短或更标准的等价表达式代替原表达式。对于多项式，标准形式没有括号，每种幂的组合只有一项，并且各项按次数降序排列。

对于分式，最简形式是指分子和分母没有公共的多项式因式。约去 $x + 3$ 这样的因式只在 $x + 3 \ne 0$ 时成立，所以完整的答案要注明这个限制。

如何使用化简计算器

输入表达式，例如 3(x + 2) - 2(x - 1) 或 (x^2 - 9)/(x^2 + 3x)。
乘方用 ^ 表示，乘法用 * 或直接并列：2x、2*x 和 2(x + 1) 都可以。
点击“化简”，按步骤查看：去括号、展开乘方、合并同类项，对于分式还有因式分解和约分。
查看最终的化简结果以及一并列出的需排除的值。

公式

分配律

a(b + c) = ab + ac

完全平方公式

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

合并同类项

px^k + qx^k = (p + q)x^k

约去公因式

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \quad C \ne 0

例题详解: 3(x + 2) − 2(x − 1)

例题化简 $3(x + 2) - 2(x - 1)$ 。计算引擎把每个系数分配到括号内，并注意 $-2$ 要乘以第二个括号中的两项，这使 $-1$ 变成 $+2$ 。

这样得到 $3x + 6 - 2x + 2$ 。把含 $x$ 的项和常数项分别合并，剩下 $x + 8$ 。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

x + 8

我们对题目的理解

化简关于 x 的多项式表达式。

3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)

分步解答

读取表达式
$3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)$
运用分配律（展开每个乘积）
一个因式中的每一项都与另一个因式中的每一项相乘：a(b + c) = ab + ac。
展开后的结果
$3x + 6 - 2x + 2$
合并同类项
x：3 − 2 = 1；常数项：6 + 2 = 8。同类项的变量和指数完全相同，所以只需把它们的系数相加。
把结果写成标准形式
各项按总次数降序排列。
$x + 8$

所用公式

分配律
$a(b + c) = ab + ac$
和的平方
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
同类项
$m\,x^k + n\,x^k = (m + n)\,x^k$

展开并合并同类项后，表达式为 x + 8，这是一个 1 次、含 2 项的多项式。

验算

在 x = 0.73 处抽查：原式 8.73，化简后 8.73 ✓

详细讲解

先展开，再合并

括号会把同类项隐藏起来。在 $(a + b)^2 - (a - b)^2$ 中，必须先把两个平方都展开才能合并： $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ 。然后 $a^2$ 项和 $b^2$ 项相互抵消，剩下 $4ab$ 。计算器总是先展开所有乘积和乘方，再进行合并。

减去一个括号是常见的出错来源。减号作用于括号内的每一项，所以 $-(a^2 - 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab - b^2$ 。

分式

化简多项式构成的分式时，要把分子和分母完全因式分解，再约去两者共有的因式。对于 $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ ，公因式 $x + 3$ 约去后得到 $\frac{x - 3}{x}$ ，其中 $x \ne 0$ 且 $x \ne -3$ 。

只能约去因式，绝不能约去单独的项。在 $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ 中约去 $x^2$ 是错误的，因为 $x^2$ 只是和式中的一项，而不是整个分子的因式。

数值表达式与运算顺序

当表达式只含数字时，化简就是精确地求出它的值。计算器遵循通常的运算顺序：先算括号，再算乘方，然后从左到右算乘除，最后从左到右算加减。分数始终保持分数形式，所以 $\tfrac34 + \tfrac56 \cdot 2$ 会变成 $\tfrac34 + \tfrac53 = \tfrac{29}{12}$ ，而不是一个四舍五入的小数。

精确运算很重要，因为过早舍入会改变后面的结果。如果实际问题需要小数答案，就在最后把精确值换算一次。

常见错误

去括号时只把负号分配给括号内的第一项。
把 $(a + b)^2$ 写成 $a^2 + b^2$ ，漏掉中间项 $2ab$ 。
合并不是同类项的项，例如把 $x^2$ 和 $x$ 相加得到 $2x^3$ 。
在分式中约去的是项而不是因式。
约去因式后丢掉了需排除的值。

小贴士

去括号之前，把减去一个括号改写成加上 $-1$ 乘以这个括号。
合并之前，用同一种颜色在同类项下面画线。
把 $x = 2$ 这样的简单数值分别代入化简前后的两种形式，检验化简是否正确。
化简分式时，先完全因式分解，再约去任何东西。
把结果按降幂排列，便于和其他答案比较。

常见问题

什么是同类项？

所含变量相同、相同变量的指数也相同的项，例如 4xy 和负 7xy。它们只有系数不同，所以可以合并成一项。

化简会改变表达式的值吗？

不会。对每个允许的输入，化简后的表达式都与原式等价。唯一的区别是，约去的因式会产生需要注明的排除值。

计算器能化简含多个变量的表达式吗？

能。任意多个变量的整式都可以展开并合并同类项。分式只能化简一元的情况。

为什么化简后的分式有限制条件？

从分子和分母中约去一个因式时，原表达式在该因式为零的地方没有定义。化简后的形式必须保留这个限制，才能保持等价。

化简和解方程是一回事吗？

不是。化简是改写表达式；解方程是找出使等式成立的值。先化简等号两边，如果需要求解，再使用方程求解器。

多项式的标准形式是什么？

所有括号都已展开，每种幂的组合只有一项，各项从最高次到最低次排列，常数项放在最后。

也能化简数值表达式吗？

能。像 3/4 + 5/6 乘以 2 这样的表达式会按运算顺序精确计算，并约分到最简。

化简你的表达式

在上方粘贴任意表达式，即可逐步看到它被展开、合并和约简的过程。

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