函数复合：如何求出并使用 f(g(x))

复合的含义

给定两个函数 $f$ 和 $g$，复合函数 $f \circ g$ 读作“f 复合 g”或“f 作用于 g”，它先作用 $g$，再把 $f$ 作用于所得结果：

最容易让人混淆的是顺序。写在右边、离 $x$ 最近的函数先起作用。可以把它想象成一条流水线：$x$ 进入机器 $g$，产品 $g(x)$ 被送到机器 $f$，最后输出 $f(g(x))$。要让这一过程行得通，你用到的 $g$ 的每个输出都必须是 $f$ 可以接受的输入。

复合与乘法不同。乘积 $(fg)(x)$ 表示 $f(x) \cdot g(x)$，是把两个输出相乘；而 $(f \circ g)(x)$ 是把一个函数代入另一个函数。区分两者的正是那个小圆圈符号。

复合两个解析式

要求 $f(g(x))$，就取 $f$ 的解析式，把其中的每个 $x$ 都替换成带括号的整个表达式 $g(x)$，然后化简。

两种顺序给出完全不同的函数。一般来说，复合不满足交换律：$f \circ g$ 和 $g \circ f$ 通常不同，永远不要假定它们相等。不过复合满足结合律，即 $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$，所以三个函数组成的链可以由内向外计算。

代入时一定要给内层函数加上括号。不加括号的话，对于 $g(x) = x^2$，$g(2x + 3)$ 很容易被写成 $2x + 3^2$，这是错误的。

根据数值和表格计算复合函数

很多时候你只需要一个值。由内向外计算：先求内层函数的值，再把结果作为外层函数的输入。并不需要求出复合函数的解析式。

假设一张表给出 $g(1) = 4$、$g(2) = 0$、$g(3) = 2$ 以及 $f(0) = 5$、$f(2) = -1$、$f(4) = 3$。那么 $f(g(1)) = f(4) = 3$，$f(g(2)) = f(0) = 5$，$f(g(3)) = f(2) = -1$。如果表中没有 $f$ 在 $g$ 所产生的那个数处的值，这个复合函数在该输入处就没有定义。

图像也是同样的道理。要从两个图像求 $f(g(3))$，先从 $g$ 的图像上读出 $g(3)$，再在 $f$ 的图像的 x 轴上找到这个值，读出对应的输出。

复合函数的定义域

$f \circ g$ 的定义域恰好由满足以下两个条件的输入 $x$ 组成：$x$ 在 $g$ 的定义域内，并且 $g(x)$ 在 $f$ 的定义域内。化简复合后的解析式可能会掩盖第一个条件，所以要根据原来的各个部分求定义域。

一个简短的例子可以说明这一点为什么重要。如果 $f(x) = x^2$，$g(x) = \sqrt{x}$，那么 $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$，但这只在 $x \ge 0$ 时成立。单看解析式 $x$，会以为任何实数都可以，这是错误的。定义域和值域指南介绍了这里用到的各种限制条件。

分解函数

分解是把过程反过来：给定一个复杂的函数 $h$，找出满足 $h = f \circ g$ 的较简单的函数。寻找一个被外层运算作用的内层表达式。

• $h(x) = (3x - 1)^5$：内层 $g(x) = 3x - 1$，外层 $f(u) = u^5$。
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$：内层 $g(x) = x^2 + 4$，外层 $f(u) = \sqrt{u}$。
• $h(x) = e^{\sin x}$：内层 $g(x) = \sin x$，外层 $f(u) = e^u$。
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$：内层 $g(x) = x + 2$，外层 $f(u) = \frac{1}{u^2}$；也可以写成三步链 $u = x + 2$，$v = u^2$，$w = \frac{1}{v}$。

分解方式并不唯一，但最有用的分解通常具有简单的内层函数。把内层部分记作 $u$，正是你在学习链式法则和积分换元法时需要的习惯。

微积分与反函数中的复合

有两个重要内容依赖于复合。第一，链式法则用于对复合函数求导：$f(g(x))$ 的导数是 $f'(g(x)) \cdot g'(x)$。对于 $(3x - 1)^5$，得到 $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$。求导法则指南对此有深入讲解。

第二，两个函数互为反函数，当且仅当以任一顺序复合它们都能还原输入：在相应的定义域上，$f(f^{-1}(x)) = x$ 且 $f^{-1}(f(x)) = x$。对于 $f(x) = 2x + 3$ 和 $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$，可得 $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$。这是验证反函数的标准方法，详见反函数。

生活中的例子：折扣与优惠券

一家商店打 20% 的折扣，而你还有一张减 10 美元的优惠券。设 $d(p) = 0.8p$ 表示对价格 $p$ 打折，$c(p) = p - 10$ 表示使用优惠券。顺序很重要。

• 先用优惠券再打折：$d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$。
• 先打折再用优惠券：$c(d(p)) = 0.8p - 10$。
• 对于一件 50 美元的商品，第一种顺序要付 32 美元，第二种顺序要付 30 美元。

在这里，先按百分比打折总能多省 2 美元，因为优惠券的金额不会被百分比折扣缩小。像这样一个过程的结果送入另一个过程的情形就是复合，它们说明了 $f$ 和 $g$ 的顺序并不只是一个技术细节。

常见错误

• 以错误的顺序作用函数：在 $f(g(x))$ 中，$g$ 先起作用。
• 把 $f(x)$ 与 $g(x)$ 相乘，而不是代入。
• 代入时不加括号，尤其是在幂和负号处。
• 只根据化简后的解析式求定义域，漏掉了被内层函数排除的值。
• 假定 $f \circ g = g \circ f$。

你可以用函数复合计算器检查两种顺序及其定义域，它会明确显示代入的步骤。

为什么值得掌握函数复合

学完代数之后遇到的几乎每个函数都是通过复合构造的。描述一杯饮料冷却时温度的公式、摆动的单摆的位置或一笔投资的价值，通常都是一个简单的外层函数（例如指数函数、正弦函数或幂函数）作用于一个更简单的内层表达式。能够看出这种结构，你就能预测图像的形状，找出函数在哪里有定义，并为求导和积分选择正确的方法。

复合还能解释图像变换。把 $f$ 的图像向右平移三个单位得到 $f(x - 3)$，即 $f$ 与内层函数 $x - 3$ 的复合。把它沿竖直方向伸长为原来的 2 倍得到 $2f(x)$，即外层函数 $2u$ 与 $f$ 的复合。这样来看，作用在括号内的变换改变的是输入，表现为水平方向的变化；作用在括号外的变换改变的是输出，表现为竖直方向的变化。这一个观察就解释了为什么水平平移的方向看起来是反的。

练习题及答案

先在纸上算出来，再对照答案。每道题都用到上面某一节中的一个思想。

1. 若 $f(x) = x^2 + 1$，$g(x) = x - 3$，求 $f(g(x))$。答案：$(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$。
2. 对于同样的函数，求 $g(f(x))$。答案：$x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$。
3. 若 $f(x) = \sqrt{x}$，$g(x) = 4 - x$，求 $f(g(x))$ 的定义域。答案：$4 - x \ge 0$，所以是 $(-\infty, 4]$。
4. 分解 $h(x) = \ln(x^2 + 1)$。答案：内层为 $x^2 + 1$，外层为 $\ln u$。
5. 若 $f(x) = 3x - 2$，求 $f(f(2))$。答案：$f(2) = 4$，$f(4) = 10$。

如果你第一题的答案是 $x^2 - 2$，说明你把函数的顺序弄反了；那是第二题的答案。弄混两种顺序是最常见的错误，用一个数值检验，例如 $x = 0$，就能很快发现：$f(g(0)) = f(-3) = 10$，而 $g(f(0)) = g(1) = -2$。

常见问题