目录 为什么用法则而不是极限 基本法则：常数、幂与和 指数函数、对数函数与三角函数 乘积法则 商法则 链式法则 组合使用各条法则 常见错误 反三角函数 高阶导数 带答案的练习题 法则的实际应用：相互关联的变化率 为什么用法则而不是极限 导数被定义为一个极限， f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} f ′ ( x ) = lim h → 0 h f ( x + h ) − f ( x ) ， 什么是导数 一文用这个定义推导了一些简单函数的导数。如果每道题都这样做，会非常痛苦。数学家们一次性证明了一些通用法则，如今这些法则可以处理多项式、根式、指数函数、对数函数、三角函数以及它们的任意组合。
可以把这些法则分成两组：基本构件的导数，以及通过和、积、商与复合把构件组合起来的法则。
基本法则：常数、幂与和 d d x c = 0 , d d x x n = n x n − 1 , d d x [ c f ( x ) ] = c f ′ ( x ) , d d x [ f + g ] = f ′ + g ′ \frac{d}{dx}c = 0, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}, \qquad \frac{d}{dx}\big[c f(x)\big] = c f'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big[f + g\big] = f' + g' d x d c = 0 , d x d x n = n x n − 1 , d x d [ c f ( x ) ] = c f ′ ( x ) , d x d [ f + g ] = f ′ + g ′ 常数永远不变，所以它的变化率为零。幂法则对任意实数指数 n n n 都成立，而不只是正整数，这让它比初看起来有用得多。常数倍可以直接提出来，和的导数等于导数的和。
例 1：一个多项式
对 5 x 4 − 3 x 2 + 7 x − 2 5x^4 - 3x^2 + 7x - 2 5 x 4 − 3 x 2 + 7 x − 2 逐项求导。 5 ⋅ 4 x 3 − 3 ⋅ 2 x + 7 − 0 = 20 x 3 − 6 x + 7 5 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 7 - 0 = 20x^3 - 6x + 7 5 ⋅ 4 x 3 − 3 ⋅ 2 x + 7 − 0 = 20 x 3 − 6 x + 7 。 例 2：根式与倒数
先改写成幂的形式： 4 x 3 = 4 x − 3 \frac{4}{x^3} = 4x^{-3} x 3 4 = 4 x − 3 ， 6 x = 6 x 1 / 2 6\sqrt{x} = 6x^{1/2} 6 x = 6 x 1/2 。 d d x 4 x − 3 = − 12 x − 4 = − 12 x 4 \frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4} d x d 4 x − 3 = − 12 x − 4 = − x 4 12 。 d d x 6 x 1 / 2 = 3 x − 1 / 2 = 3 x \frac{d}{dx}6x^{1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}} d x d 6 x 1/2 = 3 x − 1/2 = x 3 。 求导之前，先把根式和分母中含 x x x 的分式改写成幂的形式。大多数幂法则的错误都来自跳过这一步。
指数函数、对数函数与三角函数 这些导数值得牢记，因为所有更大的题目都由它们构成：
d d x e x = e x , d d x a x = a x ln a , d d x ln x = 1 x , d d x log a x = 1 x ln a \frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a} d x d e x = e x , d x d a x = a x ln a , d x d ln x = x 1 , d x d log a x = x ln a 1 d d x sin x = cos x , d d x cos x = − sin x , d d x tan x = sec 2 x \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x d x d sin x = cos x , d x d cos x = − sin x , d x d tan x = sec 2 x 函数 e x e^x e x 的导数就是它自己，这正是 e e e 在微积分中无处不在的原因。三角函数的求导法则要求角用弧度表示；如果用角度，会多出一个因子 π 180 \frac{\pi}{180} 180 π 。其余的三角函数导数是 d d x sec x = sec x tan x \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x d x d sec x = sec x tan x 、 d d x csc x = − csc x cot x \frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x d x d csc x = − csc x cot x 和 d d x cot x = − csc 2 x \frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x d x d cot x = − csc 2 x ，它们都可以由下面的商法则推出。
乘积法则 d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) \frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) d x d [ f ( x ) g ( x ) ] = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) 乘积的导数不等于导数的乘积。要理解原因，可以想象一个边长为 f f f 和 g g g 的矩形。当两条边都稍微变长时，面积沿一条边增加一条大小为 f ′ ⋅ g f' \cdot g f ′ ⋅ g 的窄条，沿另一条边增加一条大小为 f ⋅ g ′ f \cdot g' f ⋅ g ′ 的窄条，再加上一个在取极限时消失的小角块。
例 3： y = x 2 sin x y = x^2\sin x y = x 2 sin x
令 f = x 2 f = x^2 f = x 2 ， g = sin x g = \sin x g = sin x ，则 f ′ = 2 x f' = 2x f ′ = 2 x ， g ′ = cos x g' = \cos x g ′ = cos x 。 y ′ = 2 x sin x + x 2 cos x y' = 2x\sin x + x^2\cos x y ′ = 2 x sin x + x 2 cos x 。 在 x = π x = \pi x = π 处： y ′ = 2 π ⋅ 0 + π 2 ( − 1 ) = − π 2 y' = 2\pi \cdot 0 + \pi^2(-1) = -\pi^2 y ′ = 2 π ⋅ 0 + π 2 ( − 1 ) = − π 2 。 商法则 d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} d x d [ g ( x ) f ( x ) ] = g ( x ) 2 f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) 由于有减法，这里的顺序很重要。一个常用的记忆口诀是：“上导乘下减上乘下导，再除以下的平方”，其中“上”指分子，“下”指分母。
例 4： y = x 2 + 1 x − 1 y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} y = x − 1 x 2 + 1
f = x 2 + 1 f = x^2 + 1 f = x 2 + 1 ， f ′ = 2 x f' = 2x f ′ = 2 x ； g = x − 1 g = x - 1 g = x − 1 ， g ′ = 1 g' = 1 g ′ = 1 。 y ′ = 2 x ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( 1 ) ( x − 1 ) 2 y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} y ′ = ( x − 1 ) 2 2 x ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( 1 ) 。 化简分子： 2 x 2 − 2 x − x 2 − 1 = x 2 − 2 x − 1 2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1 2 x 2 − 2 x − x 2 − 1 = x 2 − 2 x − 1 ，所以 y ′ = x 2 − 2 x − 1 ( x − 1 ) 2 y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} y ′ = ( x − 1 ) 2 x 2 − 2 x − 1 。 把它用于 tan x = sin x cos x \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tan x = c o s x s i n x ，得到 cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = sec 2 x \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x c o s 2 x c o s 2 x + s i n 2 x = sec 2 x ，与上表一致。
链式法则 链式法则处理复合函数，也就是函数里面套着函数。如果 y = f ( g ( x ) ) y = f(g(x)) y = f ( g ( x )) ，那么：
d y d x = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) \frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) d x d y = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) 用文字说：先对外层函数求导，内层保持不动，再乘以内层的导数。用莱布尼茨记号，令 u = g ( x ) u = g(x) u = g ( x ) ，就是 d y d x = d y d u ⋅ d u d x \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} d x d y = d u d y ⋅ d x d u 。变化率是相乘的：如果 u u u 的变化速度是 x x x 的 3 倍，而 y y y 的变化速度是 u u u 的 2 倍，那么 y y y 的变化速度就是 x x x 的 6 倍。识别内层函数和外层函数，正是 复合函数 一文所练习的技能。
例 5：四个用链式法则求的导数
d d x ( 3 x 2 + 1 ) 5 = 5 ( 3 x 2 + 1 ) 4 ⋅ 6 x = 30 x ( 3 x 2 + 1 ) 4 \frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4 d x d ( 3 x 2 + 1 ) 5 = 5 ( 3 x 2 + 1 ) 4 ⋅ 6 x = 30 x ( 3 x 2 + 1 ) 4 。 d d x sin ( x 2 ) = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x d x d sin ( x 2 ) = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x 。 d d x e − 2 x = − 2 e − 2 x \frac{d}{dx}e^{-2x} = -2e^{-2x} d x d e − 2 x = − 2 e − 2 x 。 d d x ln ( x 2 + 4 ) = 2 x x 2 + 4 \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4) = \frac{2x}{x^2 + 4} d x d ln ( x 2 + 4 ) = x 2 + 4 2 x 。 组合使用各条法则 实际题目往往混合使用多条法则。从外往里做：先判断式子中最后进行的运算是什么，应用对应的法则，然后再处理每一部分。
例 6： y = x e 3 x y = xe^{3x} y = x e 3 x
最外层的运算是乘积，所以用乘积法则。 求 e 3 x e^{3x} e 3 x 的导数需要用链式法则： 3 e 3 x 3e^{3x} 3 e 3 x 。 y ′ = 1 ⋅ e 3 x + x ⋅ 3 e 3 x = e 3 x ( 1 + 3 x ) y' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x) y ′ = 1 ⋅ e 3 x + x ⋅ 3 e 3 x = e 3 x ( 1 + 3 x ) 。 例 7：用对数求导法求 y = x x y = x^x y = x x 的导数
幂法则和指数法则都不适用，因为底数和指数都在变化。 两边取对数： ln y = x ln x \ln y = x\ln x ln y = x ln x 。 两边求导，左边用链式法则： y ′ y = ln x + 1 \frac{y'}{y} = \ln x + 1 y y ′ = ln x + 1 。 所以对 x > 0 x > 0 x > 0 ， y ′ = x x ( ln x + 1 ) y' = x^x(\ln x + 1) y ′ = x x ( ln x + 1 ) 。 当 y y y 根本无法单独解出时，例如 x 2 + y 2 = 25 x^2 + y^2 = 25 x 2 + y 2 = 25 ，链式法则仍然可以通过 隐函数求导 发挥作用。
常见错误 用链式法则时忘记乘内层的导数，例如把 sin ( x 2 ) \sin(x^2) sin ( x 2 ) 的导数写成 cos ( x 2 ) \cos(x^2) cos ( x 2 ) 。 对乘积直接把导数相乘，而不是使用乘积法则。 把商法则分子中的顺序弄反，导致符号相反。 对 e x e^x e x 或 2 x 2^x 2 x 使用幂法则；它们是指数函数，不是幂函数。 在三角函数求导中使用角度制。 要检查答案， 导数计算器 会显示每一步所用的法则， 函数图像计算器 则可以让你把曲线的斜率与你求出的导数值进行比较。
反三角函数 反三角函数的导数是代数式，许多学生第一次看到时都很意外。它们来自对反函数关系进行隐函数求导；例如，若 y = arcsin x y = \arcsin x y = arcsin x ，则 sin y = x \sin y = x sin y = x ，两边求导得到 cos y ⋅ y ′ = 1 \cos y \cdot y' = 1 cos y ⋅ y ′ = 1 。由于在反正弦的值域上 cos y = 1 − x 2 \cos y = \sqrt{1 - x^2} cos y = 1 − x 2 ，于是得到结果：
d d x arcsin x = 1 1 − x 2 , d d x arctan x = 1 1 + x 2 \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} d x d arcsin x = 1 − x 2 1 , d x d arctan x = 1 + x 2 1 这两个结果在积分中比在求导中更重要，因为它们解释了为什么像 ∫ d x 1 + x 2 \int \frac{dx}{1 + x^2} ∫ 1 + x 2 d x 这样的积分会得到反正切。
高阶导数 对导数再求导就得到二阶导数，每次都使用同样的法则。对于 y = x 4 y = x^4 y = x 4 ，各阶导数依次为 4 x 3 4x^3 4 x 3 、 12 x 2 12x^2 12 x 2 、 24 x 24x 24 x 、24，之后的每一阶导数都是 0。一个 n n n 次多项式在求导 n + 1 n + 1 n + 1 次之后总是变为零。
正弦和余弦则是循环的： sin x \sin x sin x 的各阶导数依次为 cos x \cos x cos x 、 − sin x -\sin x − sin x 、 − cos x -\cos x − cos x ，然后又回到 sin x \sin x sin x ，每四步重复一次。指数函数 e x e^x e x 则完全不变。这些规律是构造 泰勒级数 的起点，泰勒级数利用函数在某一点处的全部导数来逼近函数。
带答案的练习题 先自己做，再看答案。首先判断哪条法则在最外层。
d d x ( 2 x 3 − 1 x ) \frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right) d x d ( 2 x 3 − x 1 ) 。答案： 6 x 2 + 1 x 2 6x^2 + \frac{1}{x^2} 6 x 2 + x 2 1 。 d d x ( x 3 e x ) \frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right) d x d ( x 3 e x ) 。答案： x 2 e x ( 3 + x ) x^2e^x(3 + x) x 2 e x ( 3 + x ) ，用乘积法则。 d d x cos ( 5 x + 1 ) \frac{d}{dx}\cos(5x + 1) d x d cos ( 5 x + 1 ) 。答案： − 5 sin ( 5 x + 1 ) -5\sin(5x + 1) − 5 sin ( 5 x + 1 ) ，用链式法则。 d d x ln x x \frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} d x d x l n x 。答案： 1 − ln x x 2 \frac{1 - \ln x}{x^2} x 2 1 − l n x ，用商法则。 d d x 1 + x 2 \frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2} d x d 1 + x 2 。答案： x 1 + x 2 \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} 1 + x 2 x ，用链式法则，幂为 1 2 \frac{1}{2} 2 1 。 法则的实际应用：相互关联的变化率 正是链式法则让相关变化率问题得以求解。假设池塘上一圈圆形水波向外扩散，半径以每秒 2 厘米的速度增大。面积为 A = π r 2 A = \pi r^2 A = π r 2 ，对时间求导得到 d A d t = 2 π r d r d t \frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt} d t d A = 2 π r d t d r 。当半径为 10 厘米时，面积的增长速度为 2 π ( 10 ) ( 2 ) = 40 π ≈ 125.7 2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7 2 π ( 10 ) ( 2 ) = 40 π ≈ 125.7 平方厘米每秒。
同样的思路可以回答梯子沿墙下滑、气球充气、行人走离路灯时影子变化等问题。每种情况下，都先写出联系各个量的方程，再用链式法则对每一项关于时间求导，最后代入你所关心那一时刻的数值。先代入后求导是一个典型错误，因为这会把变化的量变成常数。
常见问题 幂法则对负指数和分数指数也适用吗？ 适用。它对每个实数指数都成立，所以 d d x x − 1 = − x − 2 \frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2} d x d x − 1 = − x − 2 ， d d x x 1 / 3 = 1 3 x − 2 / 3 \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3} d x d x 1/3 = 3 1 x − 2/3 。先把根式和倒数改写成幂的形式。
可以不用商法则吗？ 通常可以。把 f g \frac{f}{g} g f 写成 f ⋅ g − 1 f \cdot g^{-1} f ⋅ g − 1 ，然后用乘积法则和链式法则，或者先化简分式。两种做法得到的答案相同，只是可能需要化简才能看起来完全一样。
怎么知道什么时候该用链式法则？ 只要函数里面装的不是单纯的 x x x 就要用：括号的幂、 2 x 2x 2 x 的三角函数、 e e e 的指数不是 x x x 的情形，或者一个式子的对数。如果里面就是 x x x ，它的导数是 1，链式法则不会改变任何结果。
为什么 e 的 x 次方的导数等于它自身？ 数 e ≈ 2.71828 e \approx 2.71828 e ≈ 2.71828 恰好是使 a x a^x a x 在 x = 0 x = 0 x = 0 处斜率等于 1 的底数。有了这个性质，极限定义就表明每一点处的斜率都等于该点的函数值。
应该按什么顺序应用求导法则？ 从你代入一个数计算这个式子时最后进行的那一步运算开始。如果那是乘法，就用乘积法则；如果是把函数作用在一个括号上，就用链式法则。然后对每一部分提出同样的问题，逐层向内处理。
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