微积分中的极限：实用指南

极限的概念

考虑 $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$。在 $x = 3$ 处公式给出 $\frac{0}{0}$，所以 $f(3)$ 没有定义。然而，如果在 2.9、2.99、3.01 和 3.1 处计算 $f$，会得到 5.9、5.99、6.01 和 6.1。输出值越来越接近 6。我们说当 $x$ 趋近 3 时 $f(x)$ 的极限是 6，记作：

函数在该点本身的取值与极限无关，只有附近的变化情况才重要。从图像上看，$f$ 的图像是直线 $y = x + 3$，但在 $(3, 6)$ 处有一个空洞，而极限就是这个空洞的高度。

通俗地说，$\lim_{x \to a} f(x) = L$ 的意思是：只要让 $x$ 足够接近 $a$（但不等于它），就能使 $f(x)$ 与 $L$ 要多接近就有多接近。这句话的严格版本，即 ε-δ 定义，把它变成了一个可以证明的命题。

方法 1：直接代入

多项式、分母不为零的有理函数、根式、指数函数、对数函数和三角函数在各自的定义域上都是连续的。对于连续函数，极限就是函数值，所以直接代入即可。

例如，$\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$，而 $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$。永远先尝试代入。如果得到一个实数，题目就做完了。如果得到非零数除以零，极限为无穷或不存在。只有 $\frac{0}{0}$ 以及类似的未定式才需要进一步处理。

方法 2：因式分解后约分

如果对一个有理函数代入后得到 $\frac{0}{0}$，那么分子和分母有公因式 $(x - a)$。把两者分别因式分解，约去公因式，再代入一次。

之所以可以约分，是因为求极限时从不使用 $x = a$ 处本身的值。这里需要的技巧可以参阅因式分解指南。

方法 3：乘以共轭式

当 $\frac{0}{0}$ 是由平方根引起的时，把分子和分母同时乘以共轭式，利用平方差公式消去根号。

单侧极限以及极限不存在的情形

单侧极限只考察从一个方向趋近的自变量：$x \to a^-$ 表示从左侧趋近，$x \to a^+$ 表示从右侧趋近。只有当两个单侧极限都存在且相等时，双侧极限才存在。

对于 $f(x) = \frac{|x|}{x}$，每个正数输入都得到 1，每个负数输入都得到 $-1$。所以 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$，而 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$。两者不相等，因此 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。分段函数是出现这种情况最常见的来源，所以在分段的分界点处一定要检查两侧。

函数振荡也会导致极限不存在。当 $x \to 0$ 时，$\sin\frac{1}{x}$ 在 $-1$ 和 1 之间无穷多次来回摆动，不会稳定在任何一个值上。

无穷极限与趋于无穷时的极限

如果函数在 $a$ 附近无界增长，我们把极限写成 $\infty$，例如 $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$。严格来说，这个极限作为一个数并不存在，但这种记号说明了它以何种方式不存在，并表明在 $x = a$ 处有一条竖直渐近线。

$x \to \infty$ 时的极限描述函数的长期趋势和水平渐近线。对于有理函数，把每一项都除以分母中 $x$ 的最高次幂：

如果分母的次数更高，极限为 0；例如 $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$。如果分子的次数更高，函数会无界增长。有一个著名的趋于无穷时的极限定义了一个常数：$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$。

特殊的三角函数极限与夹逼定理

所有三角函数的导数都建立在下面两个极限之上：

两者代入后都得到 $\frac{0}{0}$，而且仅靠代数变形无法消除。数值上，$\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$，$\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$，这提示了答案，而借助夹逼定理的几何论证则给出了证明。角必须用弧度表示。

夹逼定理是说：如果在 $a$ 附近 $g(x) \le f(x) \le h(x)$，并且 $g$ 和 $h$ 都趋近于 $L$，那么 $f$ 也趋近于 $L$。例如，$-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$，而上下两个界都趋近于 0，所以 $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$，尽管 $\sin\frac{1}{x}$ 本身没有极限。

洛必达法则

当极限具有 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的形式，并且函数在该点附近可导时，可以把分子和分母分别换成它们的导数：$\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$，前提是新的极限存在。

分子和分母要分别求导。洛必达法则不是商的求导法则，而且只适用于未定式。

极限、连续与导数

当 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 时，函数在 $a$ 处连续：极限存在，函数在该点有定义，且两者相等。导数本身就是一个极限，$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$，它一开始总是 $\frac{0}{0}$ 型；参见什么是导数。积分和级数的收敛同样是通过极限定义的。

极限计算器可以计算单侧极限和双侧极限，包括趋于无穷时的极限，并显示所用的方法。想直观地检查一个极限时，可以用函数图像计算器放大该点附近的图像。

极限的运算法则

极限与四则运算配合得很好。如果 $\lim f(x)$ 和 $\lim g(x)$ 都存在，那么和的极限等于极限的和，积的极限等于极限的积，只要分母的极限不为零，商的极限也等于极限的商。常数倍和乘方同样可以移到极限外面。正因为这些法则，直接代入对连续函数才有效：多项式由 $x$ 与常数的和与积构成，所以它的极限也以同样的方式构成。

这些法则要求每个单独的极限都存在。$x\sin\frac{1}{x}$ 在 0 处的极限是 0，但不能通过极限相乘得到这个结果，因为 $\sin\frac{1}{x}$ 在那里没有极限。这类情形需要改用夹逼定理。

适用于大多数题目的解题策略

1. 代入。如果得到实数，那就是答案。
2. 非零数除以零：检查两侧的符号，以判断结果是 $\infty$、$-\infty$ 还是极限不存在。
3. 多项式的零比零型：因式分解后约分。
4. 含平方根的零比零型：乘以共轭式。
5. 含三角函数的零比零型：利用 $\frac{\sin x}{x} \to 1$ 改写。
6. 趋于无穷时的极限：除以分母中的最高次幂。
7. 如果代数变形走不通，就用洛必达法则，或者用两侧的数值进行数值检验。

带答案的练习：$\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$，利用立方差公式分解。$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$，把它写成 $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$。$\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$，分子分母同除以 $x$。

常见问题