什么是积分？面向初学者的讲解

积分就是求和

如果一辆汽车以每小时 60 千米的恒定速度行驶 2 小时，它行驶的距离是 $60 \times 2 = 120$ 千米。在速度—时间图上，这段距离就是一个高为 60、宽为 2 的矩形的面积。当速度变化时，图像下方的区域不再是矩形，但距离仍然等于速度曲线下方的面积。求出这个面积，就是积分要做的事。

更一般地说，只要一个量等于某个变化率乘以某个量，例如速度乘以时间、密度乘以体积、力乘以距离，而这个变化率又在变化，那么总量就是一个积分。导数把总量拆解成变化率；积分则由变化率重建总量。

黎曼和：用矩形来近似

要求 $f(x) = x^2$ 从 $x = 0$ 到 $x = 2$ 下方的面积，把区间分成 4 个宽为 $0.5$ 的窄条。用每个窄条右端点处的函数值作为高，得到高分别为 $f(0.5)$、$f(1)$、$f(1.5)$ 和 $f(2)$ 的矩形：

如果改用左端点，则得到 $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$。真实面积介于两者之间。随着窄条数 $n$ 增大，两个和都趋近同一个值，这个极限就是定积分：

积分号是一个拉长的字母 S，取自拉丁文“总和”一词的首字母；$f(x)$ 是高，$dx$ 代表无限窄的宽度。对于 $[0, 2]$ 上的 $x^2$，这个极限恰好是 $\frac{8}{3} \approx 2.667$。正是极限的概念（详见我们的极限指南）把近似值变成了精确值。

有向面积

在图像位于 x 轴下方的地方，$f(x)$ 为负，所以这些矩形贡献的是负值。因此定积分度量的是有向面积：轴上方的面积减去轴下方的面积。

例如，$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$，因为 0 到 $\pi$ 之间轴上方的拱形，恰好抵消了 $\pi$ 到 $2\pi$ 之间轴下方的拱形。每个拱形的面积都是 2，所以几何总面积是 4。要求总面积，就在函数变号的地方把区间分开，再把各部分的绝对值相加。

原函数与不定积分

$f$ 的原函数是一个导数等于 $f$ 的函数 $F$。因为 $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$，所以函数 $x^3$ 是 $3x^2$ 的一个原函数。$x^3 + 7$ 也是，$x^3$ 加上任何常数都是，因为常数的导数为零。不定积分把它们全部包括在内：

把每条基本求导法则反过来读，就得到一条积分法则：

微积分基本定理

积分的两种含义——由求和的极限得到的面积，以及一族原函数——通过微积分基本定理联系在一起。它的实用形式是说：如果 $F$ 是连续函数 $f$ 的任意一个原函数，那么：

这非常了不起：无穷多个矩形之和归结为两个函数值。定理的另一部分说，累积面积函数 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 的导数是 $f(x)$，所以积分与求导互为逆运算。

两类积分之间的区别在定积分与不定积分一文中有进一步讨论。

基本法则之外的两种技巧

积分没有每次都能机械套用的乘积法则或链式法则，所以有些技巧是把这些求导法则反过来用。

应用

• 由速度求距离：如果 $v(t) = 3t^2$ 米/秒，那么前 2 秒内的位移是 $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ 米。
• 曲线之间的面积：在 $[0, 1]$ 上，$y = x$ 与 $y = x^2$ 之间的面积是 $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。
• 平均值：$f$ 在 $[a, b]$ 上的平均值是 $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$。
• 概率：概率密度曲线下方的面积就是概率，例如 z 分数背后的正态曲线。
• 体积、变力做功、由边际成本求总成本以及质心，都是积分。

常见错误

• 不定积分忘记加 $+ C$。
• 对 $\frac{1}{x}$ 使用幂法则，这会导致除以零；它的积分是 $\ln|x|$。
• 以为 $\int f g\,dx$ 等于 $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$。
• 在部分图像位于轴下方时，把定积分当作总面积。
• 计算成 $F(a) - F(b)$，而不是 $F(b) - F(a)$。

积分计算器可以求原函数并显示每一步，定积分计算器可以计算区间上的积分并给出数值结果。

为什么基本定理是合理的

回到那辆汽车。设 $s(t)$ 是它的位置，$v(t) = s'(t)$ 是它的速度。在整个行程中把速度乘以微小时间间隔的结果加起来，得到的是位置的总变化量，也就是终点位置减去起点位置。用符号表示就是 $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$，这正是基本定理，其中 $s$ 扮演原函数的角色。

这样看来，这个定理几乎就是常识：把一个量的所有微小变化加起来，就得到它的总变化。它的威力在于，只要能找到原函数，就能把困难的极限计算变成简单的减法。

数值积分

当写不出原函数，或者函数只能通过测量得知时，就用数值方法估计积分。用比矩形更好的形状可以得到更好的估计。梯形法则取左和与右和的平均值；对于 $[0, 2]$ 上的 $x^2$，取 4 个窄条时得到 $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$。中点法则用每个窄条中点处的高度，得到 $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$。两者都比任何一种单侧和更接近精确值 $2.667$。

辛普森法则用抛物线拟合每组三个点，它对这个函数以及任何三次函数都是精确的。软件使用这些思想的改进版本，能在不到一秒的时间内把积分算到小数点后许多位。

简史

通过累加薄片来求面积的方法古已有之。两千多年前，阿基米德用一种接近极限的方法求出了抛物线弓形的面积。十七世纪的突破归功于牛顿和莱布尼茨，那就是基本定理，它表明面积可以通过求导的逆运算求得。十九世纪，伯恩哈德·黎曼为这些和给出了现代的严格定义，所以它们以他的名字命名。

常见问题