什么是导数？清晰的入门讲解

从平均变化率到瞬时变化率

如果一辆汽车在 2 小时内行驶了 120 千米，它的平均速度是每小时 60 千米。但这个数字完全无法说明某一时刻速度表上的读数：在红绿灯前可能是 0，在高速公路上可能是 100。导数就是速度表读数的数学版本：它表示某一瞬间的变化率，而不是一段区间上的变化率。

对于任意函数 $f$，从 $x$ 到 $x + h$ 的平均变化率，等于图像上经过这两点的直线（称为割线）的斜率：

要得到瞬时变化率，就要缩小区间。当 $h$ 趋近 0 时，割线绕着该点转向切线，也就是恰好在该点与曲线相切的直线。割线斜率的极限就是导数。

严格定义

$f$ 在 $x$ 处的导数是

前提是这个极限存在。极限存在时，称 $f$ 在 $x$ 处可导。不能直接在分式中令 $h = 0$，因为那样会得到 $\frac{0}{0}$。正确的做法是先进行代数化简，直到分母中的 $h$ 被约去，然后再取极限。如果你刚接触极限，可以先阅读我们的极限指南。

记号

常用的记号有好几种，含义完全相同。拉格朗日的撇号记法写作 $f'(x)$。莱布尼茨记法写作 $\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{d}{dx}f(x)$，它提醒你导数是微小变化量之比，也让链式法则看起来顺理成章。物理学家常用一个点 $\dot{x}$ 表示对时间的导数。

对函数求两次导数得到二阶导数，记作 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。如果 $s(t)$ 表示位置，那么 $s'(t)$ 是速度，$s''(t)$ 是加速度。

导数揭示了图像的哪些信息

• 在 $f'(x) > 0$ 的地方，函数递增。
• 在 $f'(x) < 0$ 的地方，函数递减。
• 在 $f'(x) = 0$ 的地方，切线是水平的；局部极大值和极小值出现在这样的点上（或出现在 $f'$ 不存在的点上）。
• 在 $f''(x) > 0$ 的地方，图像向上凹，像杯子一样弯曲；在 $f''(x) < 0$ 的地方，图像向下凹。

让这类计算变快的法则，例如这里用到的幂法则，在求导法则详解中有详细讲解。

一个物理例子：下落的石子

忽略空气阻力，一颗从静止释放的石子在 $t$ 秒后下落的距离为 $s(t) = 4.9t^2$ 米。在 $t = 1$ 到 $t = 3$ 之间，它从 4.9 米落到 44.1 米，所以平均速度为 $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ 米/秒。

它的瞬时速度就是导数 $s'(t) = 9.8t$ 米/秒。在 $t = 2$ 时为 19.6 米/秒，恰好等于从第 1 秒到第 3 秒这段区间上的平均速度；对于二次函数，一段区间上的平均变化率总是等于区间中点处的瞬时变化率。二阶导数 $s''(t) = 9.8$ 米/秒² 是重力产生的恒定加速度。

单位是检验任何导数的好办法。一个以米为单位的量对以秒为单位的时间求导，结果的单位是米每秒。在经济学中，以美元计的总成本对产量求导，得到的是边际成本，单位是美元每件。

导数不存在的情形

如果差商的极限在某一点不存在，函数在该点就不可导。在图像上，这有四种表现形式：

• 尖角，例如 $|x|$ 在 0 处，左侧斜率为 $-1$，右侧斜率为 $+1$。
• 尖点，例如 $x^{2/3}$ 在 0 处，两侧的斜率朝相反方向变得无限陡峭。
• 竖直切线，例如 $\sqrt[3]{x}$ 在 0 处，斜率为无穷大。
• 间断，例如跳跃间断或空洞。

可导必连续：如果 $f'(a)$ 存在，那么 $f$ 在 $a$ 处连续。反过来则不成立，$|x|$ 就是反例：它处处连续，但在 0 处有一个尖角。

用数值方法估计导数

当没有现成的公式时，例如面对测量数据，可以用一个很小的步长来估计导数。对称差商通常比单侧差商更准确：

对 $f(x) = \sin x$ 在 $x = 0$ 处取 $h = 0.01$，得到 $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$，与精确值 $\cos 0 = 1$ 非常接近。图形计算器和电子表格用的就是这类估计。而导数计算器则进行符号求导，并显示所用的每一条法则；极限计算器可以直接按极限定义求值。

导数的应用

凡是“有多快”或“哪个值最好”这类问题，都是导数问题。工程师令表面积的导数为零，求出用料最少的容器尺寸。经济学家求出使利润最大的产量，也就是边际收益等于边际成本的地方。医生建立药物在血液中浓度随时间变化的模型，导数告诉他们浓度何时达到峰值。

机器学习以极大的规模依赖导数。训练模型就是调整数以百万计的参数来减小误差度量，而每个参数的调整方向由导数给出，这种方法称为梯度下降。物理学几乎完全是用导数写成的：牛顿第二定律说，力等于质量乘以位置的二阶导数。

简史

艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪下半叶各自独立地创立了微积分。牛顿从随时间流动的量的角度思考，而莱布尼茨则研究无穷小的差，他的 $\frac{dy}{dx}$ 记号正是今天大多数教科书所采用的。他们的方法效果出色，却建立在关于无穷小量的模糊观念之上。本文所用的严格极限定义是在十九世纪发展起来的，主要归功于奥古斯丁-路易·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯，这才最终为这门学科奠定了严密的基础。

常见问题