定积分与不定积分

一眼看清区别

• 记号：不定积分写作 $\int f(x)\,dx$；定积分写作 $\int_a^b f(x)\,dx$，下限为 $a$，上限为 $b$。
• 结果：不定积分得到一个函数加上一个常数；定积分得到一个数。
• 含义：不定积分回答“哪些函数的导数是它”；定积分回答“从 $a$ 到 $b$ 累积了多少”。
• 常数：不定积分需要加 $+ C$；在定积分中常数会相互抵消。
• 检验：对不定积分的答案求导，应还原出被积函数；定积分的答案可以借助图像或矩形来估计。

如果你刚接触积分，请先阅读什么是积分，那篇文章从零开始建立这两个概念。

不定积分：一族原函数

$f$ 的不定积分是所有导数等于 $f$ 的函数的集合。由于加上一个常数不会改变导数，答案总是一族曲线，每一条都是其他曲线沿竖直方向平移得到的：

要从这一族中选出一个，需要额外的信息，通常是一个已知的函数值。这称为初值问题。

物理学中经常这样做。如果加速度恒为 $-9.8$ 米/秒²，积分一次得到速度 $v(t) = -9.8t + v_0$，再积分一次得到高度 $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$。这两个常数分别是初速度和初始高度。

定积分：由求和的极限得到的数

定积分定义为黎曼和的极限，表示从 $a$ 到 $b$ 图像与 x 轴之间的有向面积。微积分基本定理提供了计算它的捷径：

用 $F + C$ 代替 $F$ 不会改变任何结果，因为 $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$。这就是常数被省略的原因。

定积分的性质

和与常数倍可以穿过积分号，这一点与导数相同。对称性可以省去大量计算：如果 $f$ 是奇函数，即 $f(-x) = -f(x)$，那么 $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$。例如，$\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$，因为负的一半和正的一半相互抵消。如果 $f$ 是偶函数，则 $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$，所以 $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

$f$ 在 $[a, b]$ 上的平均值是 $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$。对于 $[0, 3]$ 上的 $x^2$，平均值是 $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$：一个高为 3、宽为 3 的矩形与抛物线下方区域的面积相同。

换元法在两种积分中的用法不同

对于不定积分，先换元、再积分，最后代回原来的变量。对于定积分，则可以把积分限换成与新变量对应的值，从而不必再代回。

一个常见错误是换成了 $u$，却仍保留原来关于 $x$ 的积分限。要么更换积分限，要么在求值前换回 $x$，绝不能各做一半。

两者的交汇点：累积函数

上限为变量的定积分是一个函数：$A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$。它是 $f$ 的一个特定原函数，即在 $x = a$ 处等于 0 的那一个。例如，$\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$。

基本定理的第一部分说 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$。所以 $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$，尽管这个积分没有初等的表达式。如果上限本身是一个函数，链式法则会多出一个因子：$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$。求导法则汇总在求导法则详解中。

反常积分

在无穷区间上的定积分，或者被积函数在区间内趋于无穷的定积分，称为反常积分，它用极限来定义。例如：

所以一个无限长的区域可以有有限的面积。相比之下，$\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ 无界增长，因此发散。这种比较是级数收敛判别法中积分判别法的基础。

题目要求的是哪一种？

看积分号上是否有上下限，或者题目中是否出现“从……到……”“之间”“总共”“面积”“多少”等字眼。这些都表明是定积分，答案是一个数。而“求一个函数”“通解”“原函数”等字眼则表明是不定积分，要加 $+ C$。如果题目给出了初始值，例如 $f(0) = 2$，那就是先求不定积分，再解出 $C$。

求带步骤的不定积分请使用积分计算器，在区间上求值（包括反常积分）请使用定积分计算器。

用同一个函数做对比

把两种积分用在同一个函数上，对比会更加具体。设一个函数给出水流入水箱的速率，单位是升每分钟，并假设 $t$ 分钟后速率等于 $4t + 2$。

不定积分 $2t^2 + 2t + C$ 描述了任意时刻水箱中的水量，但只确定到一个未知的初始水量。如果水箱开始时有 10 升水，那么 $C = 10$，$t$ 分钟后的水量就是 $2t^2 + 2t + 10$ 升。这是一个可以在任意时刻求值的函数。

从 $t = 0$ 到 $t = 5$ 的定积分回答的是另一个问题：这五分钟内流入了多少水？结果是 $(50 + 10) - 0 = 60$ 升，与水箱里原来有多少水无关。第一个答案是描述状态的公式；第二个答案是描述变化的单个数值。只要问一问题目要的是某一时刻的量还是一段区间上的总量，大多数应用题都能明确归入这两类之一。

两类积分各自的常见错误

对于不定积分，最常见的错误是漏掉常数。这看起来无关紧要，但在初值问题中，它恰恰去掉了题目要你求的东西；在微分方程中，它会掩盖一整族解。第二个错误是换元之后忘记把答案改写回原来的变量。

对于定积分，典型的错误有：减的顺序弄反、换元后把新旧积分限混用，以及把有向面积当作总面积。另一个陷阱是直接跨过函数无定义的点进行积分，例如把 $\frac{1}{x^2}$ 从 $-1$ 积到 1。在这里盲目套用公式会得到 $-2$，而正函数的积分不可能是负数；实际上这个积分发散，因为函数在 0 处趋于无穷。在使用基本定理之前，一定要先确认被积函数在整个区间上连续。

两个概念如何相互配合

可以把不定积分看作工具，把定积分看作任务。求原函数是困难而需要创造性的一步；一旦有了原函数，这个函数在任何区间上的定积分都只需做一次减法。这就是为什么教科书在不定积分的技巧上花那么多篇幅，也是为什么一个好的原函数可以一次性回答一整组关于面积、距离和累积量的问题。

常见问题