级数收敛判别法及其选择策略

级数、部分和与收敛

无穷级数是无穷多项之和 $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$，记作 $\sum a_n$。无穷多个数不能直接相加，所以我们先把前 $N$ 项相加，得到部分和 $S_N$，再看 $N$ 增大时会发生什么。如果部分和趋于有限极限 $S$，级数就收敛，其和为 $S$；否则级数发散。

把无穷多个正数相加，总和可以是有限的。级数 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ 的部分和依次为 $0.5$、$0.75$、$0.875$ 等，每次都向 1 靠近剩余距离的一半，所以和恰好是 1。想象你朝一堵墙走去，每一步都走完剩余距离的一半：你走了无穷多步，但走过的路程永远不会超过原来的距离。整个理论都建立在极限之上，即部分和数列的极限。

几何级数

几何级数（等比级数）每一项都乘以相同的公比 $r$。它是少数能精确写出和的级数之一：

如果 $|r| \ge 1$，各项不会缩小到零，级数发散。例如，$3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$ 中 $a = 3$，$r = \frac{1}{3}$，所以它的和是 $\frac{3}{2/3} = 4.5$。循环小数其实就是伪装起来的几何级数：$0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$。

发散判别法

如果通项 $a_n$ 不趋于 0，级数就发散。这应该永远是你的第一步检查，因为只需几秒钟。例如，$\sum\frac{n}{n + 1}$ 发散，因为它的各项趋于 1，相当于永远在加接近 1 的数。

反过来并不成立，这是关于级数最常见的误解。各项趋于零并不能保证收敛。调和级数 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ 的各项缩小到 0，但它却发散。把它的项分组：$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$，接下来的四项之和超过 $\frac{1}{2}$，再接下来的八项之和也超过 $\frac{1}{2}$，依此类推。加上无穷多个一半，总和是无界的。不过增长非常缓慢：前一百万项加起来只有约 14.4。

p 级数与积分判别法

p 级数的形式是 $\sum\frac{1}{n^p}$。它的敛散性只取决于 $p$：

因此 $\sum\frac{1}{n^2}$ 收敛，它的和是著名的 $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$，而 $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散。证明用的是积分判别法：如果 $f$ 为正、连续且单调递减，并且 $f(n) = a_n$，那么 $\sum a_n$ 与 $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ 要么都收敛，要么都发散。由于 $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1$ 是有限的，而 $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ 是无穷的，两个关键情形随之得出。这些反常积分的计算见定积分与不定积分。

比较判别法

比较判别法把一个级数与你已经了解的级数联系起来，通常是几何级数或 p 级数，从而判断其敛散性。对于正项级数：

• 直接比较：如果 $0 \le a_n \le b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，那么 $\sum a_n$ 也收敛。如果 $a_n \ge b_n \ge 0$ 且 $\sum b_n$ 发散，那么 $\sum a_n$ 也发散。
• 极限比较：如果 $\lim\frac{a_n}{b_n}$ 是一个有限的正数，两个级数的敛散性相同。

选择比较级数时，分子和分母中都只保留 $n$ 的最高次幂。剩下的部分会告诉你应该与哪个 p 级数或几何级数比较。

比值判别法与根值判别法

比值判别法考察每一项与前一项的比。令 $L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$。若 $L < 1$，级数绝对收敛；若 $L > 1$，级数发散；若 $L = 1$，判别法失效。对于含有阶乘或 $2^n$ 这类幂的级数，它是自然的选择。

根值判别法使用 $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$，结论相同，适合整项被提升到 $n$ 次幂的情形。对于 $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$，$n$ 次方根为 $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$，所以级数收敛。

交错级数

交错级数的各项正负交替。交错级数判别法指出：如果各项的绝对值单调递减并趋于 0，级数就收敛。因此交错调和级数 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ 收敛，其和为 $\ln 2 \approx 0.6931$。

还有一个额外的好处：在任意一项处停止，误差都不超过第一个被略去的项。所以交错调和级数取前 99 项，得到的 $\ln 2$ 误差在 $\frac{1}{100}$ 以内。

如果 $\sum|a_n|$ 收敛，级数就绝对收敛；如果级数只是靠正负号相互抵消才收敛，就是条件收敛。交错调和级数是条件收敛的，因为去掉符号后它就是发散的调和级数。绝对收敛是更强的性质：重新排列绝对收敛级数的各项，和永远不变；而条件收敛的级数经过重新排列，可以加成你想要的任何数。

选择判别法的策略

1. 各项是否趋于 0？如果不是，级数发散。
2. 它是几何级数还是 p 级数？直接套用已知规则。
3. 是否含有阶乘或像 $3^n$ 这样的 $n$ 次幂？使用比值判别法。
4. 整个通项是否被提升到 $n$ 次幂？使用根值判别法。
5. 它是否是关于 $n$ 的有理函数或类似形式？与 p 级数做极限比较。
6. 符号是否交替？使用交错级数判别法，然后检查是否绝对收敛。
7. 通项是否是容易积分的函数？考虑积分判别法。

级数收敛计算器会运用这些判别法，指出是哪一种判别法得出了结论，并估计级数的和。各项含有 $x$ 的幂级数也用同样的方法处理：比值判别法给出收敛半径，再单独检查端点，我们的泰勒级数指南中的收敛区间就是这样求出的。

裂项级数与练习题

裂项级数（望远镜级数）的部分和会因相邻项相互抵消而大幅化简。写出 $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$，就可以看出部分和 $S_N$ 等于 $1 - \frac{1}{N + 1}$，它趋于 1。识别出裂项的规律（常常借助部分分式），就能得到精确的和，而不只是“收敛”或“发散”的回答。

先自己判断下面这些级数，再看答案：$\sum\frac{5}{4^n}$ 是公比为四分之一的几何级数，收敛；$\sum\frac{n^2}{n^2 + 1}$ 由发散判别法知发散，因为它的各项趋于 1；$\sum\frac{1}{n^{1.01}}$ 是 $p > 1$ 的 p 级数，收敛；$\sum\frac{3^n}{n!}$ 由比值判别法知收敛；$\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 条件收敛，因为交错级数判别法适用，但其绝对值构成的级数是发散的 p 级数。

常见问题