泰勒级数：用多项式逼近函数

基本思想：让各阶导数相匹配

多项式是最容易处理的函数。只用加法和乘法就能求它的值，对它求导或积分也都是常规操作。而像 $e^x$、$\sin x$ 和 $\ln x$ 这样的函数，手算起来就困难得多。泰勒级数的思想是：在选定的点 $a$ 附近，找一个与函数表现相似的多项式。

过一点的最佳直线是切线，它在该点与函数的值和一阶导数都相同。抛物线还能与二阶导数相同，因此能跟上曲线的弯曲。三次多项式还能与三阶导数相同，依此类推。每多匹配一阶导数，多项式就能在该点周围更宽的范围内贴合函数。无限地继续下去，就得到泰勒级数。

泰勒级数公式

要求多项式在 $a$ 处的 $n$ 阶导数等于 $f^{(n)}(a)$，就迫使 $(x - a)^n$ 的系数为 $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$。之所以出现阶乘，是因为对 $(x - a)^n$ 求 $n$ 次导数会得到 $n!$。完整的级数是：

当 $a = 0$ 时，这个级数称为麦克劳林级数，各项的幂就是 $x^n$。由直到 $(x - a)^n$ 的各项组成的多项式是 $n$ 次泰勒多项式，记作 $P_n(x)$。仅取前两项就是切线近似，也称为线性化。

构造 e 的 x 次方的级数

令 $x = 1$，就得到常数 e 本身的一个著名公式：$e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$。由于阶乘增长得非常快，只需十几项就能达到 2.71828。

值得记住的级数

下面这些麦克劳林级数经常出现，其他大多数级数都可以通过代换、相乘、求导或积分由它们构造出来：

正弦级数只含奇次幂，这与正弦是奇函数相符；余弦级数只含偶次幂，这与它的对称性相符。对正弦级数逐项求导就得到余弦级数，这正与 $\sin x$ 的导数应为 $\cos x$ 一致。

检验一下：$\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$，而真实值是 $0.0998334$。仅两项就已给出六位正确的小数，这就是计算器能用很短的多项式快速计算三角函数的原因。

在非零点处展开

把 $a$ 选在你关心的输入值附近，可以使近似收敛得快得多。要估计 $\sqrt{4.1}$，就把 $\sqrt{x}$ 在 $a = 4$ 处展开，因为在那里平方根很容易求。

误差有多大？

泰勒定理给出了泰勒多项式的误差。如果在 $a$ 与 $x$ 之间有 $|f^{(n+1)}| \le M$，那么 $n$ 次项之后的余项满足：

对于 $n = 3$ 时的 $e^{0.5}$，四阶导数在该区间上为 $e^t \le e^{0.5} < 2$，所以误差至多为 $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$。实际误差 $0.0029$ 在这个界之内。这个界反过来也很有用：在开始计算之前，它就能告诉你需要多少项才能保证给定的精度。

对于正弦和余弦这样的交错级数，还有更简单的估计：误差不超过第一个被略去的项。这条规则背后的思想见级数收敛判别法。

级数在哪里收敛

泰勒级数并不总是处处等于原函数。$\frac{1}{1 - x}$ 的几何级数只在 $|x| < 1$ 时成立；在 $x = 2$ 处，左边等于 $-1$，而级数的各项却无界增长。使级数收敛的 $x$ 值构成一个以 $a$ 为中心的区间，区间宽度的一半就是收敛半径。它通常用比值判别法求出。

$e^x$、$\sin x$ 和 $\cos x$ 的级数对所有实数 $x$ 都收敛。$\ln(1 + x)$ 的级数在 $-1 < x \le 1$ 时收敛；在 $x = 1$ 处它给出一个惊人的结果：$\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$，不过它收敛得非常慢。

泰勒级数的用途

• 计算函数值：计算器和软件使用与泰勒多项式密切相关的多项式近似。
• 求极限：把 $\sin x$ 替换为 $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$，不用洛必达法则就能得到 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$。
• 没有初等原函数的积分：对 $e^{-x^2}$ 的级数逐项积分，得到 $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$，与真实值 $0.7468$ 很接近。
• 物理学：研究单摆时使用的小角近似 $\sin\theta \approx \theta$，就是正弦级数的第一项。
• 欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，比较这三个级数即可得到。

泰勒级数计算器可以把任意函数在任意点处展开到指定阶数，并显示每一阶导数。这里求导技能必不可少，所以求导法则详解是很好的配套读物。

求任意泰勒多项式的步骤

1. 选择中心 $a$：取在你需要求值的地方附近、且函数及其导数都容易计算的点。
2. 按所需的次数对函数求相应阶数的导数，并化简每一阶导数。
3. 求出每一阶导数在 $a$ 处的值。
4. 把第 $n$ 个值除以 $n!$，得到各个系数。
5. 用 $(x - a)$ 的幂而不是 $x$ 的幂写出多项式，除非 $a = 0$。
6. 检验开头的系数：$P_n(a)$ 必须等于 $f(a)$，$P_n$ 在 $a$ 处的斜率必须等于 $f'(a)$。

由已知级数构造新级数，往往比反复求导更快。例如，在 $e^x$ 的级数中把 $x$ 换成 $-x^2$，立即得到 $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$；把正弦级数乘以 $x$，就得到 $x\sin x$ 的级数。

在图像上观察近似

把 $\cos x$ 与它的 2 次、4 次和 6 次泰勒多项式画在一起，会出现清晰的规律。2 次多项式是一条开口向下的抛物线，在零附近与余弦曲线吻合得很好，但离开约一个单位后就逐渐偏离。4 次多项式保持贴近的范围更长，6 次多项式则能跟随曲线走过第一个拱形的大部分。每个多项式最终都会冲向无穷，因为没有多项式能永远振荡；但增加项数会把偏离的位置推得越来越远，这正是级数收敛在实际中的含义。

这幅图景是建立直觉的最好方式：近似在中心附近非常精确，离得越远就越差。函数绘图计算器可以把一个函数和它的若干泰勒多项式画在一起，让你看到它们如何收敛。

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