定积分计算器

为什么 F(b) − F(a) 给出面积

设想一个面积函数 $A(t)$，它度量 $f$ 下方从 $a$ 到动点 $t$ 的面积。把 $t$ 向前推进一个很小的量 $h$，增加的面积是一个高约为 $f(t)$、宽为 $h$ 的窄条，所以 $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$。两边除以 $h$ 并让它趋于零，就得到 $A'(t) = f(t)$：面积函数是 $f$ 的一个原函数。

任意两个原函数只相差一个常数，所以无论你求出的是哪个原函数 $F$，都有 $A(t) = F(t) + C$。由于 $A(a) = 0$，这个常数是 $-F(a)$，于是整个面积为 $A(b) = F(b) - F(a)$。这也是积分常数从不出现在定积分中的原因：它在相减时被抵消了。

有向面积与绝对面积

当图像落到坐标轴下方时，积分会减去那一部分。对于 $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$，正的拱形和负的拱形恰好抵消，答案是 0。这是该积分的正确值，但并不是你在图上涂阴影的那块面积。

要求总面积，就找出函数在区间内的零点，在每一段上分别积分，再把各段结果的绝对值相加。计算器接受 abs()，所以输入 abs(x-1)、从 0 到 2 积分，会得到 1，即两个三角形面积之和；而在同一区间上对 x-1 积分，得到的是 0。

反常积分：无穷积分限与竖直渐近线

当某个端点为无穷，或者被积函数在区间内某处无界时，积分就是反常积分，它的值定义为一个极限。对于 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$，计算器求得 $F(x) = -\frac1x$，取 $x \to \infty$ 时的极限，结果为 0，再减去 $F(1) = -1$，报告该积分收敛于 1。

同样的思路也能处理渐近线。$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ 收敛于 2，因为 $2\sqrt{x}$ 在 0 处有有限的极限；而 $\int_0^1 \frac1x\,dx$ 发散，因为 $\ln x$ 趋于 $-\infty$。两个被积函数在零处都趋于无穷，决定结果的是趋于无穷的速度。如果奇点位于区间中间，积分必须在那里拆开，并且两半必须各自收敛。

在整条实数轴上，两端都需要取极限。计算器把 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ 算作 $\arctan x$ 从 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的增量，得到精确值 $\pi$。

没有公式时：数值积分

有些非常普通的函数，其原函数无法用初等函数写出。钟形的 $e^{-x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$ 和 $\sqrt{1 + x^3}$ 都是典型例子。它们的定积分仍然存在，只是必须用数值方法计算。

这时计算器使用自适应辛普森法：用抛物线拟合曲线的一小段一小段，凡是估计值还不够精确的地方就继续细分，目标是使误差小于 $10^{-10}$。对于 $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$，它给出约 0.7468241328，并标明是数值近似值，这样就不会与精确值混淆。

省力的常用性质

交换上下限会改变符号，所以 $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$。在宽度为零的区间上，积分为零。对于 $x^3$ 或 $\sin x$ 这样的奇函数，在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分为零；对于偶函数，则等于从 0 到 $a$ 的积分的两倍。计算之前先发现对称性，往往能把繁琐的问题变成一行就能写出的答案。

积分还具有线性性质：常数可以提出来，和可以拆成几个积分。再结合拆分积分区间的法则，这些性质让你能把复杂的区域分成若干容易处理的部分。