隐函数求导计算器：完整步骤求 dy/dx

关于隐函数求导计算器

许多曲线无法简洁地写成 $y = f(x)$ 的形式。像 $x^2 + y^2 = 25$ 这样的圆不能通过竖直线检验，而笛卡儿叶形线 $x^3 + y^3 = 6xy$ 这样的曲线，根本没有方便的 $y$ 的表达式。它们在几乎每一点处仍然有斜率，隐函数求导法正是不必先解出 $y$ 就能求出这些斜率的方法。

这个计算器完全按照课堂上讲授的方式执行这一方法。它把 $y$ 看作 $x$ 的未知函数，把方程两边同时对 $x$ 求导，并通过链式法则给每个含 $y$ 的项乘上因子 $y'$ 。然后把含 $y'$ 的项集中到一边，提取公因式 $y'$ 再相除，得到用 $x$ 和 $y$ 共同表示的 $\frac{dy}{dx}$ 。

如果你给出曲线上的一个点，计算器会把它代入，给出斜率的数值，并写出该点处的切线方程。最终的公式还会与 $-\frac{F_x}{F_y}$ （由偏导数预测的结果）比较，进行独立验证，所以你可以先确认答案可靠，再把它抄进作业。

什么是隐函数求导？

像 $x^2 + y^2 = 25$ 这样的方程隐式地定义了 $y$ ：它描述的是 $x$ 与 $y$ 之间的关系，而不是直接给出 $y$ 。在曲线的大多数点附近， $y$ 仍然像 $x$ 的函数一样变化，即使你写不出这个函数。隐函数求导法直接从这个关系出发求出它的导数。

关键在于链式法则。如果 $y$ 依赖于 $x$ ，那么 $y^2$ 对 $x$ 的导数不是 $2y$ ，而是 $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ 。 $\sin y$ 、 $e^y$ 或任何其他关于 $y$ 的式子也是如此：照常求导，再乘以 $y'$ 。只含 $x$ 的项正常求导，常数则消失。

结果通常同时含有 $x$ 和 $y$ ，例如 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ 。这是预料之中的，也是正确的。同一个 $x$ 值可能对应曲线上的几个点，而各点处的斜率不同，所以公式需要用 $y$ 坐标来确定你指的是哪一点。

如何使用隐函数求导计算器

输入一个含 x 和 y、只有一个等号的方程，例如 x^2 + y^2 = 25 或 x^3 + y^3 = 6 x y。
字母之间的乘法用空格或 * 表示，所以 x 与 y 的积写作 x y 或 x*y。
可以输入曲线上的一个点，例如 x = 3, y = 4，以求该点处的斜率和切线。
点击“求 dy/dx”，即可看到两边分别求导、含 y′ 的项合并以及最终的公式。
如果给出了点，就从最后几步中读出斜率和切线方程。

公式

含 y 项的链式法则

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

含 y 的积的求导法则

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

利用偏导数的捷径

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

(x₀, y₀) 处的切线

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

例题详解: x² + y² = 25 在 (3, 4) 处

下面的例题实时计算圆 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的情形。两边同时求导得到 $2x + 2y\,y' = 0$ ，其中 $2y\,y'$ 这一项来自链式法则。把 $2x$ 移到另一边，再除以 $2y$ ，得到 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ 。

在 $(3, 4)$ 处，斜率为 $-\frac34 = -0.75$ ，所以切线是 $y - 4 = -0.75(x - 3)$ 。几何也能证实这一点：到 $(3, 4)$ 的半径的斜率是 $\frac43$ ，而圆的切线垂直于半径，所以切线的斜率必定是它的负倒数 $-\frac34$ 。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{该点处的斜率} = -0.75

我们对题目的理解

求由隐式方程确定的曲线的 dy/dx，把 y 看作 x 的可导函数。

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

分步解答

把 y 看作 x 的函数，两边同时对 x 求导
每个含 y 的项都要用链式法则：d/dx[g(y)] = g′(y)·y′。
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
两边分别求导的结果
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
把含 y′ 的项移到一边
把所有含 y′ 的项移到左边，其余移到右边，然后提取公因式 y′。
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
两边相除，解出 y′
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
代入 x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
该点处的切线
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

所用公式

y 的链式法则
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
隐函数求导公式
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

两边同时求导，等式保持成立；由于 y 依赖于 x，每个含 y 的项都会产生一个因子 y′，然后用代数方法解出它。结果通常同时含有 x 和 y。

验算

在若干样本点上与独立符号求导程序得到的 −F_x / F_y 一致 ✓
(3, 4) 在曲线上 ✓

详细讲解

四步完成的方法

第一步，把两边的每一项都对 $x$ 求导。第二步，凡是含 $y$ 的项，求导后都乘以 $y'$ ；凡是 $x$ 与 $y$ 相乘的地方，使用积的求导法则。第三步，把所有含 $y'$ 的项移到一边，其余的移到另一边。第四步，提取公因式 $y'$ ，再除以剩下的部分。

用于 $x^3 + y^3 = 6xy$ 时，由于右边是一个积，前两步得到 $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ 。合并同类项得到 $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ ，所以 $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ 。计算器展示的正是这一过程。

为什么链式法则会产生 y′

把 $y$ 看作 $y(x)$ ，一个你看不见的函数。这样 $y^3$ 实际上是一个复合函数，即 $y(x)$ 的立方，链式法则告诉我们它的导数是 $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ 。隐函数求导法不过是把普通的链式法则用于一个表达式未知的内层函数。

这也是 $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ 和 $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ 的原因。对于方程 $\sin y = x$ ，求导得到 $\cos y\,y' = 1$ ，所以 $y' = \frac{1}{\cos y}$ 。由于这条曲线在主值分支上就是 $y = \arcsin x$ ，只要把 $\cos y$ 写成 $\sqrt{1 - x^2}$ ，这个结果就快速推导出了反正弦函数的导数。

斜率、切线与特殊点

把一个点代入公式就得到该点处的斜率，但前提是这个点确实在曲线上；最好先检验它是否满足原方程。有了斜率 $m$ 和点 $(x_0, y_0)$ ，切线就是 $y - y_0 = m(x - x_0)$ 。

这个公式还能找出曲线的特殊之处。在 $\frac{dy}{dx}$ 的分子为零而分母不为零的地方，切线是水平的。在分母为零而分子不为零的地方，切线是竖直的；在圆上，这发生在 $y = 0$ 的点 $(\pm 5, 0)$ 处。如果分子和分母同时为零，例如叶形线上的原点，曲线可能自相交，斜率必须另外研究。

利用偏导数的捷径

把所有项都移到一边，曲线就写成了 $F(x, y) = 0$ 。多元微积分随即给出公式 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ ，其中 $F_x$ 和 $F_y$ 是偏导数。对于 $x^2 + xy + y^2 = 7$ ，有 $F_x = 2x + y$ 和 $F_y = x + 2y$ ，所以 $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ ，它在 $(1, 2)$ 处等于 $-0.8$ 。

计算器用这个公式独立检验逐步求得的结果。你也可以这样使用它：当你手算的结果与捷径一致时，就可以对答案有信心。

这一方法的后续应用：相关变化率

隐函数求导法是相关变化率问题背后的引擎。梯子沿墙下滑时，它的底端和顶端在每一时刻都满足 $x^2 + y^2 = L^2$ ，而两个坐标都随时间变化。改为对 $t$ 而不是对 $x$ 求导，得到 $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ ，它把底端的速度和顶端的速度联系起来。

其模式与本页的完全相同：对关系式求导，对每个变化的量使用链式法则，再解出你要的变化率。对数求导法也以它为基础：对 $y = x^x$ 两边取 $\ln$ ，再对 $\ln y = x \ln x$ 隐式求导，得到 $y' = x^x(\ln x + 1)$ 。

常见错误

把 $y^2$ 的导数写成 $2y$ ，忘记乘因子 $y'$ 。
对混合项漏用积的求导法则，把 $\frac{d}{dx}[xy]$ 只写成 $y'$ 或 $xy'$ 。
把右边的常数当作变量求导，而不是得到 0。
除以一个在所考察的点处为零的式子，从而掩盖了竖直切线。
代入一个不满足原方程的点。
在不必要时先解出 $y$ ，这往往会产生符号不确定的平方根。

小贴士

每写出一个 $y'$ 就把它圈出来或标亮，这样合并同类项时不会遗漏。
如果能减少使用积的求导法则的项数，就先把积展开再求导。
用 $-\frac{F_x}{F_y}$ 快速检验你的结果。
约去 2 或 3 这样的公因数，化简最终的分式。
求切线之前，先确认你的点在曲线上。
求二阶导数时，再对 $y'$ 隐式求导一次，并代入一阶导数的公式。

常见问题

什么时候该用隐函数求导法？

当 y 与 x 由一个很难或无法解出 y 的方程联系在一起时，例如 x³ + y³ = 6xy；或者当解出 y 会把曲线分成几个分支时，例如圆和椭圆。

为什么 dy/dx 中既有 x 又有 y？

在隐式曲线上，一个 x 值可能对应几个点，每个点都有自己的斜率。公式中的 y 用来确定你指的是哪一点。对于圆，−x/y 在 (3, 4) 处等于 −0.75，在 (3, −4) 处等于 +0.75。

怎样输入求斜率的点？

在可选的框中输入两个坐标，例如 x = 3, y = 4。计算器会把它们代入 dy/dx，并用点斜式写出切线。

能对含 sin y 或 e^y 的方程求导吗？

能。任何关于 x 和 y 的可导式子都可以使用。sin y 和 e^y 这样的项会通过链式法则乘上因子 y′，所以由 sin y = x 得到 dy/dx = 1/cos y。

dy/dx 的分母为零意味着什么？

只要分子不同时为零，该点处的切线就是竖直的。在 x² + y² = 25 上，这发生在 (5, 0) 和 (−5, 0) 处。

隐函数求导和使用偏导数是一回事吗？

两者给出相同的答案。逐步的方法直接使用链式法则，而公式 dy/dx = −F_x/F_y 使用的是 F(x, y) 的偏导数。计算器用前者展示过程，用后者进行检验。

这个计算器能求 d²y/dx² 吗？

计算器给出的是一阶导数。求二阶导数时，用商的求导法则对 dy/dx 的公式再求一次导，记住 y 仍然依赖于 x，并把出现的每个 y′ 换成一阶导数的表达式。

方程必须使用哪些字母？

方程必须用 x 和 y 写出，并把 y 当作因变量。不支持其他字母，计算器会如实说明，而不会猜测它们的作用。

求导之前需要先解出 y 吗？

不需要，而且通常最好不要。由 x² + y² = 25 解出 y 得到 ±√(25 − x²)，这是两个各自带有麻烦平方根的函数。对原方程求导可以同时处理圆的上下两半。

对你的隐式方程求导

在上方输入一个关于 x 和 y 的方程，即可求出 dy/dx 并看到链式法则的每一步；再加上一个点，就能得到斜率和切线。

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隐函数求导计算器

关于隐函数求导计算器

什么是隐函数求导？

如何使用隐函数求导计算器

公式

含 y 项的链式法则

含 y 的积的求导法则

利用偏导数的捷径

(x₀, y₀) 处的切线

例题详解: x² + y² = 25 在 (3, 4) 处

最终答案

我们对题目的理解

分步解答

所用公式

验算

详细讲解

四步完成的方法

为什么链式法则会产生 y′

斜率、切线与特殊点

利用偏导数的捷径

这一方法的后续应用：相关变化率

常见错误

小贴士

常见问题

什么时候该用隐函数求导法？

为什么 dy/dx 中既有 x 又有 y？

怎样输入求斜率的点？

能对含 sin y 或 e^y 的方程求导吗？

dy/dx 的分母为零意味着什么？

隐函数求导和使用偏导数是一回事吗？

这个计算器能求 d²y/dx² 吗？

方程必须使用哪些字母？

求导之前需要先解出 y 吗？

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