隐函数求导，一步一步来

显式方程与隐式方程

显式方程直接把 $y$ 写成关于 $x$ 的公式，例如 $y = x^2 + 1$。然而许多重要的曲线是用隐式方式描述的，即用一个联系 $x$ 和 $y$ 的方程来表示。圆 $x^2 + y^2 = 25$ 就是一个熟悉的例子。把它解成关于 $y$ 的形式会得到两个函数：上半圆 $y = \sqrt{25 - x^2}$ 和下半圆 $y = -\sqrt{25 - x^2}$，分别对它们求导很不方便。

还有一些曲线根本无法用普通的代数方法解出 $y$，例如 $x^3 + y^3 = 6xy$ 或 $e^y + xy = e$。它们的图像在几乎每一点处仍然有切线，而隐函数求导正是求出这些斜率的工具。这种方法完全依赖链式法则，所以如果你对这条法则还不够熟悉，建议先阅读求导法则详解。

四步法

1. 对方程两边关于 $x$ 求导。
2. 每当对含有 $y$ 的式子求导时，都要乘以 $\frac{dy}{dx}$，因为 $y$ 是 $x$ 的函数，需要用到链式法则。
3. 把所有含 $\frac{dy}{dx}$ 的项移到一边，其余的项移到另一边。
4. 提取公因式 $\frac{dy}{dx}$，再相除把它单独解出来。

第 2 步背后的关键事实是下面这个链式法则恒等式，其中 $f$ 是任意可导函数：

因此 $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$，$\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$，$\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$。像 $xy$ 这样的乘积还需要用到乘积法则：$\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$。

例题：圆

注意，隐式求得的答案同时适用于上下两半：在 $(3, -4)$ 处斜率为 $+\frac{3}{4}$。这个公式还说明了切线在何处水平：当 $x = 0$ 时，即在 $(0, 5)$ 和 $(0, -5)$ 处；以及切线在何处竖直：当 $y = 0$ 时，即在 $(5, 0)$ 和 $(-5, 0)$ 处。答案中既含 $x$ 又含 $y$，这对隐函数的导数来说很正常；要得到一个具体数值，你需要曲线上的一个点，而不只是一个 $x$ 值。

无法解出 y 的例题

二阶导数

要求 $\frac{d^2y}{dx^2}$，就对一阶导数再做一次隐函数求导，然后把一阶导数代回去。对于圆，从 $y' = -\frac{x}{y}$ 出发，使用商法则：

最后一步利用原方程 $x^2 + y^2 = 25$ 进行化简，这个技巧常常很有用。在上半圆，$y > 0$，结果为负，所以曲线在那里是向下凹的；在下半圆结果为正，这与圆的形状相符。

推导反函数的导数

隐函数求导可以解释反函数的导数从何而来。令 $y = \arctan x$，则 $\tan y = x$。求导得 $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$，所以 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$。

对 $y = \ln x$ 用同样的方法，把它改写成 $e^y = x$，得到 $e^y\frac{dy}{dx} = 1$，所以 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$。一般来说，反函数在对应点处的斜率是原函数斜率的倒数，详见我们关于反函数的文章。

相关变化率

当各个变量都随时间变化时，同样的思路可以改为关于 $t$ 而不是 $x$ 求导。每个变量都有自己的变化率。

常见错误

• 对含 $y$ 的项求导时忘记乘以因子 $\frac{dy}{dx}$。
• 把 $xy$ 当作一个单独的变量，而没有使用乘积法则。
• 把右边的常数当作变量来求导；常数的导数是 0。
• 在求导之前就代入数值，这会把正在变化的量固定住。
• 使用的点其实不在曲线上。一定要先检验这个点。

隐函数求导计算器会完成每一个步骤，整理含导数的项，并可以求出某一点处的斜率。对于显函数，请使用导数计算器。

为什么这种方法成立

隐函数求导假设在所关注的点附近，曲线确实是某个可导函数 $y(x)$ 的图像，即使我们写不出这个函数。把它代入方程，方程就变成关于 $x$ 的恒等式，对该点附近的每个 $x$ 都成立。对每个 $x$ 都相等的两个表达式，其导数也必然相等，这就是我们可以对两边求导的原因。

这个假设只在一些特殊点处不成立，例如切线竖直的点或曲线自身相交的点。笛卡儿叶形线在原点处自身相交，在那里导数公式给出 $\frac{0}{0}$。在这样的点处，曲线在局部不是单个函数的图像，因此没有唯一的斜率。多元微积分中的隐函数定理准确地说明了这个假设何时可靠。

借助偏导数的捷径

如果曲线写成 $F(x, y) = 0$ 的形式，由同样的推理可以得到一个简洁的斜率公式：

这里 $F_x$ 和 $F_y$ 是偏导数，即把另一个变量看作常数、只对一个变量求导所得的结果。对于圆，$F = x^2 + y^2 - 25$，得到 $F_x = 2x$ 和 $F_y = 2y$，所以斜率是 $-\frac{x}{y}$，与之前相同。偏导数计算器可以替你算出 $F_x$ 和 $F_y$。

练习题及答案

1. $x^2 - y^2 = 9$。答案：$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$。
2. $xy = 12$，求在 $(3, 4)$ 处的斜率。答案：$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$，在该点等于 $-\frac{4}{3}$。
3. $y^3 + y = x$。答案：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$，它始终为正，所以曲线始终上升。
4. $\cos y = x$。答案：$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$，由此可以得到反余弦函数的导数。

对每一题，都可以在曲线上选一个点，用附近的另一个点数值估计斜率，再与答案比较，以此检验。

隐式曲线出现在哪里

隐式方程在实际中很常见。椭圆、双曲线等圆锥曲线天然就是用隐式方程表示的。在经济学中，无差异曲线把能给消费者带来相同满足程度的两种商品的数量联系起来，用隐函数求导得到的斜率，就是消费者愿意用一种商品交换另一种商品的比率。在热力学中，状态方程把压强、体积和温度联系在一起，隐函数求导可以给出改变其中一个量时另一个量如何变化。只要两个量是由一条规律而不是一个公式联系在一起，这种方法就能给出它们的变化率。

常见问题