偏导数计算器：fx、fy、混合偏导数与二阶偏导数

关于偏导数计算器

科学和经济学中的大多数量都依赖于不止一个输入。圆柱的体积取决于底面半径和高，公司的利润取决于价格和广告投入，房间里的温度取决于全部三个坐标。偏导数针对这样的函数回答一个明确的问题：当一个输入变化、其他输入都保持不变时，输出变化得有多快？

这个计算器精确地计算这些变化率。输入一个函数，例如 $x^2 y + \sin(xy)$ ，选择变量，它就会把其他每个字母都当作常数，用和的法则、常数倍法则、幂函数求导法则、积的求导法则和链式法则逐项求导。每条法则单独作为一步显示，所以你能看出为什么 $\cos(xy)$ 前面会留下一个 $y$ ，以及为什么对 $x$ 求导时 $4y$ 这样的项会消失。

高阶偏导数也是同样的做法。输入 xx 求关于 $x$ 的二阶偏导数，或输入 xy 求先对 $x$ 、再对 $y$ 求导的混合偏导数。再加上一个点，例如 x = 1, y = 2，即可求出结果在该点的值。每个答案在显示之前都与数值有限差分估计进行交叉验证。

什么是偏导数？

对于函数 $f(x, y)$ ，关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 或 $f_x$ ，它是把 $y$ 当作固定的数时得到的普通导数。严格地说， $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ 。弯曲的符号 $\partial$ 表示还有其他变量，并且它们保持不变。

从几何上看， $f(x, y)$ 的图像是一个曲面。用平面 $y =$ 常数去截这个曲面，得到一条曲线， $f_x$ 就是这条曲线的斜率。同样， $f_y$ 是沿 $y$ 方向截得的曲线的斜率。一阶偏导数合在一起构成梯度向量 $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ ，它指向函数增长最快的方向。

偏导数出现在最优化中（驻点是所有一阶偏导数都为零的点），出现在物理中（热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程都用偏导数写成），出现在经济学中（边际成本和边际效用），也出现在机器学习中，每个神经网络的训练都由梯度驱动。

如何使用偏导数计算器

输入函数，可以用任意字母作变量，例如 x^2 y + sin(x y) 或 x^3 y^2 + 4y。字母之间的空格或 * 表示乘法。
在第二个框中输入要对其求导的变量，例如 x 或 y。
求高阶偏导数时，按顺序每次求导写一个字母：xx 表示 f_xx，xy 表示 f_xy（先对 x，再对 y），以此类推。
可以为每个变量赋值，例如 x = 1, y = 2，以求导数在该点的值。
点击“计算”，然后按步骤阅读，每一步都标明所用的法则。

公式

定义

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

混合偏导数的记号

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

克莱罗定理

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{两者都连续时}

梯度

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

偏导数中的链式法则

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

例题详解: x²y + sin(xy) 对 x 的偏导

下面的例题对 $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ 关于 $x$ 求导，结果实时计算。 $y$ 保持不变时，第一项是常数乘以 $x^2$ ，所以变为 $2xy$ 。第二项需要用链式法则： $\sin u$ 的导数是 $\cos u$ 乘以 $\frac{\partial u}{\partial x}$ ，而对于 $u = xy$ ，这个内层导数是 $y$ 。

把两部分相加得到 $2xy + y\cos(xy)$ ，计算器把它分解为 $f_x = y(2x + \cos(xy))$ 。注意 $y$ 从未被求导；如果在同样的位置上写的是数 5，它的表现也完全一样。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

我们对题目的理解

求 f(x, y) 的一阶偏导数 f_x。

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

分步解答

确定函数和求导的次序
对 x 求导；其他每个变量 (y) 都视为常数。
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
和的求导法则：各项分别求导
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
链式法则 — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
常数倍法则
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
常数倍法则
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
幂函数求导法则：d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
化简：f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

所用公式

定义
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
混合偏导数（克莱罗定理）
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{两者都连续时}$

偏导数衡量只有一个变量变化时 f 怎样变化：其他变量完全当作常数处理，所以通常的求导法则依然适用。

验算

已在若干样本点上与独立的符号求导程序交叉验证 ✓

详细讲解

其他变量保持不变

所有偏导数背后只有一个思想：不对其求导的变量都被冻结。如果你觉得不好理解，可以先用一个具体的数代替它们。 $x^3 y^2 + 4y$ 对 $y$ 求导，就相当于在 $x = 2$ 时对 $8y^2 + 4y$ 求导：答案的形式是 $2 \cdot 8y + 4$ ，再把 $x^3$ 放回 8 的位置，就得到 $f_y = 2x^3 y + 4$ 。

这也解释了哪些项会消失。只含被冻结变量的项是常数，所以它的偏导数为零。在 $f = x^2 + 3xy$ 中，关于 $y$ 的偏导数完全忽略 $x^2$ ，得到 $f_y = 3x$ 。

熟悉的法则依然适用

求偏导数使用的法则与一元微积分完全相同：幂函数求导法则、和的法则、常数倍法则、积的求导法则、商的求导法则和链式法则。唯一的变化在于记账。两个因子都含有 $x$ 的积，对 $x$ 求导时需要用积的求导法则；但如果其中一个因子只含 $y$ ，它就只是一个常数因子。

最容易出错的是链式法则。当一个函数作用在含有多个变量的式子上时，例如 $e^{xy}$ 或 $\ln(x^2 + y^2)$ ，内层导数也是偏导数。所以 $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ ，而 $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ 。

二阶偏导数与混合偏导数

对偏导数再求一次偏导，就得到二阶偏导数。二元函数有四个二阶偏导数： $f_{xx}$ 、 $f_{yy}$ ，以及混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 。下标记号从左往右读，所以 $f_{xy}$ 表示先对 $x$ 求导，再对 $y$ 求导。分式记号 $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ 从右往左读，表示的是同一件事。

对于 $f = x^2 y^3$ ，先对 $x$ 求导得到 $2xy^3$ ，再对 $y$ 求导得到 $f_{xy} = 6xy^2$ ，它在点 $(1, 2)$ 处等于 24。按另一种次序求导，先得到 $3x^2y^2$ ，然后同样得到 $6xy^2$ 。这种一致就是克莱罗定理：对于二阶偏导数连续的函数，混合求导的次序无关紧要。计算器每次计算混合偏导数时，都会把这一点作为检验列出来。

二阶偏导数有具体的用途。在判断 $f(x, y)$ 的驻点的二阶导数判别法中，量 $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ 决定该点是极大值点、极小值点还是鞍点。

在某一点求值并解释这个数

偏导数本身也是所有变量的函数，所以它的值取决于所在的位置。对于 $f = x^2 + 3xy$ ，导数 $f_x = 2x + 3y$ 在 $(1, 2)$ 处等于 8。这意味着在该点附近，保持 $y = 2$ 不变而让 $x$ 增加一个很小的量 $\Delta x$ ， $f$ 大约增加 $8\,\Delta x$ 。

单位能让这种解释变得具体。如果 $V(r, h) = \pi r^2 h$ 是以立方厘米为单位的圆柱体积，那么 $V_r = 2\pi r h$ 的单位是立方厘米每厘米半径，它告诉你在高固定时，体积对半径变化有多敏感。

常见错误

把应当保持不变的变量也求了导，例如写成 $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ 。
对 $x$ 求导时以为 $4y$ 这样的项会保留下来；它是常数，求导得 0。
使用链式法则时忘记内层的偏导数，例如把 $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ 写成 $\cos(xy)$ 。
把 $f_{xy}$ 的次序读反；下标的次序就是求导的次序。
当 $y$ 本身依赖于 $x$ 时，把 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 与全导数 $\frac{df}{dx}$ 混为一谈。

小贴士

如果分不清哪些是常数，就在心里把被冻结的变量换成具体的数。
求导之前先把常数提出来；对 $x$ 求导时， $x^2 y^3$ 就是 $y^3$ 乘以 $x^2$ 。
把克莱罗定理当作免费的检验：分别计算 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ ，再加以比较。
一旦得到两个一阶偏导数，就写出 $\nabla f$ ；大多数应用需要的是整个梯度。
求二阶偏导数之前先化简一阶偏导数，使式子保持简洁。
查看偏导数在某一点的符号，就能知道函数沿该方向是上升还是下降。

常见问题

怎样输入二元函数？

用字母表示变量，用空格或 * 表示乘法，例如 x^2 y + sin(x y) 或 x^2*y + sin(x*y)。凡是不属于 sin 或 log 这类函数名的字母，都被当作变量。

怎样求 f_xx 这样的二阶偏导数？

在“对以下变量求导”框中，每求一次导就输入一次变量：xx 表示 f_xx，yy 表示 f_yy。计算器会反复求导，并分别显示每个阶段。

f_xy 和 f_yx 相同吗？

对于课程中遇到的几乎所有函数，答案是肯定的。只要混合偏导数连续，克莱罗定理就保证它们相等。计算器会报告两者的比较结果，让你看到它们一致。

符号 ∂ 是什么意思？

它是用于偏导数的圆体 d。它表示函数含有多个变量，并且在求导时，除了分母中的那个变量之外，其余变量都保持不变。

能求偏导数在某一点的值吗？

能。在可选的框中为每个变量输入值，例如 x = 1, y = 2。计算器会把它们代入最终的导数并给出数值，例如 f_x = 2x + 3y 在 (1, 2) 处等于 8。

能处理三元函数吗？

能。x y z 或 x^2 + y z 这样的函数可以对其中任意一个字母求导。对于 x y z，关于 z 的偏导数是 xy。

偏导数与普通导数有什么不同？

两者的法则完全相同，但普通导数只涉及一个变量，而偏导数是在多个变量中选取一个，把其余的都当作常数。结果仍然是所有变量的函数。

什么是梯度？偏导数怎样构成梯度？

梯度是由全部一阶偏导数组成的向量，例如 ⟨f_x, f_y⟩。它指向函数增长最快的方向，它的长度就是这个最快的增长率。

为什么我的偏导数和课本上的答案看起来不一样？

等价的式子可以有很多种排列方式。计算器可能会提取公因式，写成 y(2x + cos(xy)) 而不是 2xy + y cos(xy)，或者以不同的顺序排列因子。把两种形式都展开，或者在同一点求值，即可确认它们相同。

对你的多元函数求导

在上方输入一个函数和要对其求导的变量，即可得到一阶、二阶或混合偏导数，并看到所用的每条法则。

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