点积计算器：向量夹角与投影

关于点积计算器

点积是比较两个向量最简单的方法。它把对应分量相乘，再把结果相加，得到一个数，用来衡量两个向量在多大程度上指向同一方向。由这个数可以求出它们的夹角，检验它们是否垂直，还可以把一个向量投影到另一个向量上。

这个计算器接受任意个分量的向量，只要两个向量的长度相同即可。它会显示各分量的乘积、它们的和、两个向量的模、以度为单位的夹角，以及第一个向量在第二个向量上的标量投影和向量投影。如果其中一个是零向量，它会解释为什么夹角无法定义。

什么是点积？

$\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ 与 $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ 的点积（也称数量积）是 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ 。与叉积不同，它的结果是一个数，而不是向量。

从几何上看， $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ ，其中 $\theta$ 是两向量的夹角。夹角为锐角时点积为正，两向量垂直时点积为零，夹角为钝角时点积为负。

如何使用点积计算器

输入第一个向量的各个分量，用逗号分隔，例如 1, 2, 3。
输入第二个向量，分量个数与第一个相同。
点击“计算”。
查看点积、两个向量的模以及它们的夹角。
如果需要一个向量沿另一个向量方向的分量，请查看投影这一步。

公式

点积

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

模

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

两向量的夹角

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

u 在 v 上的投影

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

例题详解: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

例题使用 $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ 和 $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ 。各分量的乘积是 4、 $-10$ 和 18，相加得 12。

两个向量的模是 $\sqrt{14}$ 和 $\sqrt{77}$ ，所以 $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ ，夹角约为 $68.56°$ 。点积为正，证实夹角是锐角。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

u v = 12

我们对题目的理解

两个 3 维向量的点积。

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

分步解答

将对应分量相乘
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
把乘积相加
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
求向量的模
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
两向量的夹角
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
u 在 v 上的标量投影与向量投影
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

所用公式

点积
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

点积为正，所以两向量的夹角为锐角。

验算

精确计算；点积满足交换律，所以 v·u 得到相同的值。

详细讲解

度量夹角与垂直

把几何公式变形，就能求出任意两个非零向量的夹角。由于只有 $\cos\theta$ 的符号决定夹角是锐角还是钝角，所以在计算模之前，仅凭点积的符号就能知道是哪一种。

两个向量正交，当且仅当它们的点积为零。对于 $\langle 1, 0 \rangle$ 和 $\langle 0, 1 \rangle$ ，点积为 0，夹角为 $90°$ 。这个检验在任何维数中都适用，所以在无法画出夹角的四维或更高维空间中，正交性正是通过点积来定义的。

投影

标量投影 $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ 是 $\mathbf{u}$ 投在经过 $\mathbf{v}$ 的直线上的影子的有向长度。向量投影则是用 $\mathbf{v}$ 方向的单位向量乘以这个长度。从 $\mathbf{u}$ 中减去投影，剩下的是垂直于 $\mathbf{v}$ 的分量，这正是格拉姆–施密特正交化和最小二乘拟合背后的思想。

在物理学中，恒力 $\mathbf{F}$ 使物体沿位移 $\mathbf{d}$ 移动所做的功是 $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ ：只有力沿运动方向的分量做功。

性质

点积满足交换律 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ ，并对加法满足分配律。向量与自身的点积等于它长度的平方，模就是这样计算的。把一个向量乘以 $k$ ，点积也乘以 $k$ ；当 $k$ 为正时，夹角保持不变。

点积还与余弦定理相联系。展开 $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ ，得到 $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ ，这恰好是由两个向量及其差构成的三角形的余弦定理。这个恒等式正是夹角公式成立的原因。

常见错误

以为答案是一个向量；点积是一个数。
把不对应的分量相乘，或者对长度不同的向量求点积。
计算模时忘记开平方。
需要以度表示夹角时，计算器却停留在弧度模式。
投影到错误的向量上； $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ 与 $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ 不同。

小贴士

先检验正交性：点积为零意味着夹角是直角。
用点积的符号预判夹角是锐角还是钝角。
先把向量单位化为长度 1，这样点积就直接等于 $\cos\theta$ 。
需要同时垂直于两个向量的向量时，使用叉积计算器。
用矩阵计算器以矩阵乘积的形式一次算出许多点积。
把每个向量写成一列并排放在一起，相乘前让对应分量对齐。

常见问题

怎样计算点积？

把两个向量的对应分量相乘，再把乘积相加。对于 ⟨1, 2, 3⟩ 和 ⟨4, −5, 6⟩，得到 4 − 10 + 18 = 12。

怎样求两个向量的夹角？

用点积除以两个模的乘积，再取反余弦。计算器以度为单位显示结果。

点积为零意味着什么？

只要两个向量都不是零向量，它们就互相垂直（正交）。

点积可以是负数吗？

可以。点积为负意味着两向量的夹角大于 90°。

计算器能处理三维以上的向量吗？

能。向量可以有任意个分量，只要两个向量的分量个数相同即可。

点积和叉积有什么区别？

点积给出一个衡量方向一致程度的数，适用于任何维数。叉积给出一个同时垂直于两个输入向量的向量，只对三维向量有定义。

如果其中一个向量是零向量会怎样？

点积为 0，但夹角没有定义，因为零向量没有方向。计算器会说明这一点，而不会给出夹角。

计算你的点积

在上方输入两个向量，即可得到它们的点积、夹角和投影。

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