特征值计算器：特征值与特征向量，附步骤

关于特征值计算器

特征值和特征向量描述了矩阵保持不变的方向，以及矩阵把这些方向拉伸了多少。谷歌最初的网页排名算法、桥梁和分子的振动模态、统计学中的主成分分析、微分方程的稳定性以及量子力学中的能级，背后都有它们的身影。在线性代数课程中，这通常是把此前所学的一切——行列式、行化简和零空间——融会贯通的主题。

这个计算器按照教科书的方法进行。它构造特征多项式 $\det(\lambda I - A)$ ，利用有理根定理、求根公式和多项式除法精确求出它的根，然后对每个特征值解 $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ ，并尽可能给出元素为简单整数的特征向量。

无理特征值保留为精确的根式，复特征值以共轭对的形式给出，重特征值会同时注明代数重数和几何重数，让你一眼就能看出矩阵是否可对角化。支持从 2×2 到 4×4 的矩阵，基本涵盖所有作业题和考试题。

什么是特征值和特征向量？

如果用 $A$ 去乘只是把非零向量 $\mathbf v$ 伸缩，即对某个数 $\lambda$ 有 $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ ，那么它就是方阵 $A$ 的特征向量，这个数就是 $\mathbf v$ 所对应的特征值。大多数向量乘以矩阵后会改变方向；特征向量则是那些特殊的向量，它们始终留在自己所在的过原点的直线上。

把定义改写为 $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ ，就能看出怎样求它们。只有当 $A - \lambda I$ 是奇异矩阵，也就是它的行列式为零时，才存在非零解。方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 称为特征方程；对于 $n \times n$ 矩阵，它是 $n$ 次多项式方程，所以按重数计算恰好有 $n$ 个特征值，其中有些可能是复数。

每个特征值都有无穷多个特征向量，因为特征向量的任何非零倍数仍是特征向量。因此答案给出的是一个代表向量；当有几个线性无关的方向时，给出的是一组基。你的教科书给出的可能是同一向量的另一个倍数。

如何使用特征值计算器

每行输入矩阵的一行，元素之间用空格分隔，例如第一行输入 4 1，第二行输入 2 3。
也可以把整个矩阵写在一行里，行与行之间用分号分隔，例如 4 1; 2 3。
元素可以是整数、小数、分数或负数。矩阵必须是方阵，大小从 2×2 到 4×4。
点击“求特征值”，即可看到特征多项式、它的根以及每个特征值对应的特征向量计算。
如果需要知道矩阵是否可对角化，请查看重特征值所报告的重数。

公式

特征值方程

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

特征方程

\det(\lambda I - A) = 0

2×2 简便公式

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

迹与行列式

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

对角化

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

例题详解: 2×2，有理数

下面的例题针对 $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ 实时计算。迹为 7，行列式为 $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ ，所以特征多项式为 $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ ，特征值是 5 和 2。

当 $\lambda = 5$ 时，矩阵 $A - 5I$ 的行为 $(-1, 1)$ 和 $(2, -2)$ ，它的零空间由 $\langle 1, 1 \rangle$ 张成。当 $\lambda = 2$ 时， $A - 2I$ 的行为 $(2, 1)$ 和 $(2, 1)$ ，得到 $\langle -1, 2 \rangle$ 。验证其中一个很快： $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ ，恰好是原向量的五倍。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

\lambda = 5,\ 2

我们对题目的理解

求 2×2 矩阵的特征值和特征向量。

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

分步解答

建立特征方程
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
对于 2×2 矩阵，它是 λ² −（迹）λ + 行列式
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
特征多项式
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
用有理根定理求出有理根
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
λ = 5 的特征向量：解 (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
λ = 2 的特征向量：解 (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

所用公式

特征方程
$\det(\lambda I - A) = 0$
特征向量方程
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

特征值是特征多项式的根。特征向量：λ = 5：⟨1, 1⟩；λ = 2：⟨-1, 2⟩。

验算

特征值之和 ≈ 7 等于迹 7。
特征值之积等于行列式 10。

详细讲解

第 1 步：特征多项式

对于 2×2 矩阵，可以直接写出多项式 $\lambda^2 - (\text{迹})\lambda + \det$ 。对于更大的矩阵，计算器用余子式展开 $\det(\lambda I - A)$ 。以 $(2, 0, 0)$ 、 $(0, 3, 4)$ 和 $(0, 4, 9)$ 为行的 3×3 对称矩阵，得到 $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ 。

有两项快速检查可以发现大多数计算错误。 $\lambda^{n-1}$ 的系数是迹的相反数，这里是 $-(2 + 3 + 9) = -14$ ；常数项是 $(-1)^n \det A$ ，这里是 $-22$ ，因为行列式等于 22。

第 2 步：求根

当元素都是整数时，任何有理特征值都必须整除常数项，所以计算器检验 22 的因数，找到 $\lambda = 1$ ，然后把多项式除以 $(\lambda - 1)$ ，再对剩下的二次式因式分解。特征值是 11、2 和 1，它们的和 14 与迹相等，这是必然的。

当剩下的二次式在有理数范围内不能因式分解时，求根公式会给出精确的根式。对于 $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ ，多项式 $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ 的根是 $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ ，约为 5.372 和 $-0.372$ 。如果判别式为负，根就是一对共轭复数；旋转矩阵 $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ 满足 $\lambda^2 + 1 = 0$ ，所以 $\lambda = \pm i$ ，这反映了旋转 90° 后没有任何实方向保持不变。

第 3 步：由零空间求特征向量

对每个特征值，把它代入 $A - \lambda I$ ，用行化简解这个齐次方程组。由于该矩阵是奇异的，至少有一行会化为全零，从而留下一个自由变量。给自由变量取一个方便的值，再回代，就得到特征向量，计算器会把它化为较小的整数。

在这个 3×3 例子中，当 $\lambda = 11$ 时， $A - 11I$ 的行为 $(-9, 0, 0)$ 、 $(0, -8, 4)$ 和 $(0, 4, -2)$ 。第一行迫使 $v_1 = 0$ ，另外两行都给出 $v_3 = 2v_2$ ，所以 $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ 。像这样的对称矩阵总是有实特征值，并且特征向量两两垂直，这可以用点积来验证。

重特征值与对角化

作为根出现 $k$ 次的特征值，其代数重数为 $k$ 。它所拥有的线性无关特征向量的个数是它的几何重数，几何重数可能更小。 $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ 和 $2I$ 都有二重特征值 2，但前者只有一个特征向量方向 $\langle 1, 0 \rangle$ ，而后者有两个： $\langle 1, 0 \rangle$ 和 $\langle 0, 1 \rangle$ 。

矩阵能写成 $PDP^{-1}$ （ $D$ 的对角线上是特征值， $P$ 的各列是特征向量），当且仅当每个特征值的几何重数都等于它的代数重数。对角化使求幂变得容易，因为 $A^k = PD^kP^{-1}$ ，特征值正是这样预测人口模型和马尔可夫链的长期行为的。

值得掌握的捷径

三角矩阵的特征值就是它的对角线元素，所以以 $(1, 2, 3)$ 、 $(0, 4, 5)$ 和 $(0, 0, 6)$ 为行的矩阵，不用计算就知道特征值是 6、4 和 1。矩阵可逆当且仅当 0 不是它的特征值，并且 $A^{-1}$ 的特征值是 $A$ 的特征值的倒数，特征向量相同。

对矩阵做简单的改变，它的特征值会以可预测的方式变化。加上单位矩阵的 $c$ 倍，每个特征值都加上 $c$ ；把矩阵乘以一个数，每个特征值都乘以这个数；把矩阵自乘 $k$ 次幂，每个特征值也取 $k$ 次幂，而特征向量都保持不变。矩阵与它的转置有相同的特征值，但特征向量通常不同。利用这些事实，可以在计算之前检验答案、预测结果。

常见错误

算成 $\det(A) - \lambda$ ，而不是 $\det(A - \lambda I)$ ；必须从每个对角线元素中减去 $\lambda$ 。
把零向量当作特征向量；按定义，特征向量必须非零。
多项式中出现计算错误，结果求出的零空间只含零向量。
以为每个矩阵都有实特征值；旋转矩阵和许多非对称矩阵的特征值是复数。
因为特征向量与教科书上的相差一个常数倍，就认为它是错的。
没有检查重特征值的几何重数，就断定矩阵可对角化。

小贴士

检查特征值之和是否等于迹，之积是否等于行列式。
计算 $A\mathbf v$ 并与 $\lambda\mathbf v$ 比较，验证每个特征向量。
三角矩阵的特征值直接从对角线上读出。
对于 3×3 矩阵，沿零最多的行或列展开行列式。
用行列式计算器确认对每个特征值， $A - \lambda I$ 都是奇异的。
只要矩阵是对称的，就可以预期特征值是实数、特征向量互相垂直。
先从矩阵中提出公因数；特征值只是相应地乘以这个因数。

常见问题

怎样在特征值计算器中输入矩阵？

每行输入矩阵的一行，元素之间用空格分隔；或者把所有行写在一行里，用分号分隔，例如 4 1; 2 3。可以输入分数、小数和负数。

支持多大的矩阵？

从 2×2 到 4×4 的方阵。特征值只对方阵有定义，所以像 3×2 这样的矩阵会被拒绝，并附上解释。

计算器能求复特征值吗？

能。当特征多项式的判别式为负时，特征值以一对共轭复数的形式给出，例如 90° 旋转矩阵的特征值 λ = i 和 −i。

为什么我的特征向量和教科书上的不一样？

特征向量的任何非零倍数也是特征向量。⟨1, 1⟩ 和 ⟨3, 3⟩ 表示同一个方向。请检查一个向量是否是另一个的倍数。

代数重数和几何重数是什么意思？

代数重数是一个特征值作为特征多项式的根重复出现的次数。几何重数是它所拥有的线性无关特征向量的个数。对于重特征值，计算器会同时报告两者。

计算器给出的是精确特征值还是小数？

尽可能给出精确值：整数、分数以及像 5/2 ± √33/2 这样的根式。只有当三次或四次方程的根无法精确求出时，才改用精确的小数近似值。

特征值与行列式和迹有什么关系？

所有特征值之积等于行列式，之和等于迹。对于以 (4, 1) 和 (2, 3) 为行的矩阵，5 × 2 = 10 是行列式，5 + 2 = 7 是迹。

特征值为零意味着什么？

矩阵是奇异的：它没有逆矩阵，行列式为零。λ = 0 对应的特征向量张成矩阵的零空间。

特征值在课堂之外有哪些用途？

用于振动分析、控制系统的稳定性、主成分分析、量子力学、马尔可夫链和搜索引擎排名，凡是需要理解线性变换反复作用的地方都会用到。

求出矩阵的特征值

在上方输入一个方阵，即可得到特征多项式、精确的特征值以及每个特征值对应的特征向量，并展示每一步。

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