特征值与特征向量详解（附例题）

定义方程

大多数向量乘以矩阵后都会改变方向。但有少数特殊的向量不会：矩阵只是沿同一条直线把它们拉长、缩短或反向。这些向量就是特征向量，每个特征向量被缩放的倍数就是它的特征值。用符号表示，当下式成立时，非零向量 $\mathbf{v}$ 是方阵 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $\lambda$：

零向量被排除在外，因为它对任何 $\lambda$ 都满足这个方程。不过，特征值可以是零、负数，甚至是复数。特征值为 2 表示该方向上的向量长度加倍，$-1$ 表示向量翻转，0 表示向量被压扁为零，这恰好发生在矩阵奇异的时候。

用特征方程求特征值

把定义方程改写为 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$。要使非零解存在，矩阵 $A - \lambda I$ 必须是奇异的，所以它的行列式必须为零。这就得到特征方程：

对于 $n \times n$ 矩阵，这是关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式方程，所以在计入重数并允许复数的情况下，共有 $n$ 个特征值。对于 $2 \times 2$ 矩阵，这个多项式是二次的，可以用如何解一元二次方程中的方法求解。

一个完整的 2 乘 2 例题

特征向量的任何非零倍数也是特征向量，所以 $(3, 3)$ 或 $(-2, 4)$ 同样是正确答案。重要的是方向，而不是长度。还要注意，每次 $A - \lambda I$ 的两行都互为倍数。当 $\lambda$ 确实是特征值时，这一点是必然的，因此可以用来方便地检查你的计算。

两条捷径：迹与行列式

任何方阵的特征值都与两个容易求的数相关。特征值之和等于迹（即对角元素之和），特征值之积等于行列式：

在例 1 中，迹为 $4 + 3 = 7 = 5 + 2$，行列式为 $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$。对于 $2 \times 2$ 矩阵，这意味着特征方程总是 $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$，省去了手工展开行列式的麻烦。三角矩阵更简单：它的特征值就是对角元素。

复特征值与重特征值

旋转矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 把每个向量都旋转 90 度，所以没有任何实方向能留在自己所在的直线上。它的特征方程是 $\lambda^2 + 1 = 0$，得到复特征值 $\lambda = \pm i$。实矩阵的复特征值总是成共轭对出现，并且意味着旋转。

特征值也可能重复。矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 有二重特征值 2，但 $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 迫使 $y = 0$，所以特征向量只有 $(1, 0)$ 的倍数。像这样线性无关的特征向量个数少于矩阵阶数的矩阵，称为亏损矩阵。相比之下，单位矩阵也有重特征值 1，但每个非零向量都是它的特征向量。

对称矩阵不会出现这两种复杂情况。它的特征值总是实数，属于不同特征值的特征向量互相垂直。对于 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，特征值为 3 和 1，特征向量为 $(1, 1)$ 和 $(1, -1)$，它们的点积为零。

对角化与矩阵的幂

当 $n \times n$ 矩阵有 $n$ 个线性无关的特征向量时，它可以对角化。把特征向量作为 $P$ 的列，把特征值放在 $D$ 的对角线上，于是：

对角矩阵的幂只需把每个对角元素取相应的幂，所以计算 $A^{100}$ 变得很容易。特征值还能预测长期行为：当某个特征值的绝对值大于其他所有特征值时，反复乘以 $A$ 会把几乎所有初始向量推向该特征值对应的特征向量方向。

特征值的重要应用

• 搜索引擎：最初的网页排名算法利用链接矩阵的主特征向量对网页进行排序。
• 工程：桥梁和建筑物的固有振动频率来自特征值，设计者要让它们远离预期的激励频率。
• 数据科学：主成分分析利用协方差矩阵的特征向量，找出变化最大的方向。
• 微分方程：特征值的符号决定平衡点是稳定的还是不稳定的。
• 量子力学：能级等可测量的物理量是算符的特征值。

特征值计算器可以求出特征值和特征向量（包括复数情形），并逐步显示特征多项式。行列式计算器可以用来检查 $\det(A - \lambda I)$ 在某个候选值处是否为零。

一个 3 乘 3 例题

更大的矩阵遵循同样的步骤，而且零元素像在行列式中一样有帮助。取行为 $(2, 0, 0)$、$(0, 3, 4)$ 和 $(0, 4, 9)$ 的矩阵。沿第一行展开 $\det(A - \lambda I)$，得到 $(2 - \lambda)$ 乘以行为 $(3, 4)$ 和 $(4, 9)$ 的较小子块的特征多项式。这个子块的迹为 12，行列式为 $27 - 16 = 11$，所以它的多项式是 $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$。

因此特征值为 2、1 和 11。检验一下：它们的和是 14，正是整个矩阵的迹；它们的积是 22，正是矩阵的行列式。对应 2 的特征向量是 $(1, 0, 0)$，对应 1 的是 $(0, -2, 1)$，对应 11 的是 $(0, 1, 2)$。这个矩阵是对称的，正如前面所说，这三个向量两两垂直。

常见错误

• 从每个元素中都减去 $\lambda$，而不是只从对角元素中减去。
• 解出 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 后，把零向量也当作特征向量。
• 以为重特征值总是对应两个线性无关的特征向量。
• 忘记通过计算 $A\mathbf{v}$ 并与 $\lambda\mathbf{v}$ 比较来检验结果。

最后这项检验是最有价值的习惯。它只需要一次矩阵乘法；如果 $A\mathbf{v}$ 不是 $\mathbf{v}$ 的倍数，那么不是特征值错了，就是特征向量错了。

几何图景

想象把例 1 中的矩阵作用在一张方格纸的每一个点上。从原点出发的大多数箭头既被拉伸又被旋转。然而，沿着经过 $(1, 1)$ 的直线的箭头只是变长为原来的五倍，沿着经过 $(1, -2)$ 的直线的箭头变长为原来的两倍，它们都留在各自的直线上。特征向量是这个变换的骨架：只要知道这两条直线上发生了什么，就知道任何地方发生了什么，因为每个向量都可以分解为沿这两条直线的分量。

常见问题