如何检查数学作业和答案

为什么检查是一项值得练习的技能

很多学生把检查当成重读一遍解题过程，这样很少能发现问题：眼睛只会看到它期望看到的东西。真正的检查是用另一条路径得到同一个答案，这样第一条路径上的错误就会表现为两者不一致。下面每种方法都提供了这样一条路径。大多数方法用时不到一分钟，合在一起能发现作业和考试中的绝大多数错误。

检查也能加深理解。把答案代回方程，会提醒你“解”究竟是什么。对积分结果求导，会提醒你这两种运算是如何联系在一起的。久而久之，养成检查习惯的学生会培养出一种直觉，能察觉答案看起来不对劲，这是数学中最宝贵的本能之一。

1. 把答案代回去

方程的解就是使方程成立的值，所以最直接的检查就是把它代进去。要使用原方程，而不是解题过程中后面的某一行，否则前面步骤中的错误就会被忽略。

如果你对两边同时平方，或者乘以了含有未知数的式子，代入检验就必不可少，因为这些步骤可能产生增根。用平方法解 $\sqrt{x + 7} = x - 5$ 得到 $x^2 - 11x + 18 = 0$，所以 $x = 9$ 或 $x = 2$。代入后发现 $\sqrt{16} = 4 = 9 - 5$，成立；但 $\sqrt{9} = 3$，而 $2 - 5 = -3$，所以必须舍去 $x = 2$。

2. 做逆运算

许多运算都有能把它撤销的逆运算，而逆运算往往更容易进行。因式分解可以通过展开来检查，除法可以通过乘法来检查，积分可以通过求导来检查。

• 因式分解：如果你写出了 $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$，就展开右边：$x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$。
• 除法：如果 $391 \div 17 = 23$，就验证 $17 \times 23 = 391$。
• 积分：如果 $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$，用链式法则对 $\sin(x^2)$ 求导，得到 $2x\cos(x^2)$，符合要求。
• 对数：如果 $\log_2 32 = 5$，就验证 $2^5 = 32$。
• 反函数：如果 $f^{-1}$ 是正确的，那么对几个测试值都有 $f(f^{-1}(x)) = x$。

3. 计算前后都要估算

计算之前先粗略估算，就有了一个目标。把 $49 \times 21$ 近似为 $50 \times 20 = 1000$，就知道精确答案 1029 是合理的，而 10,290 或 129 则明显是错的。估算在使用计算器时尤其有用，因为按错一个数字或放错小数点，得到的答案在数量级上会完全不对。

在应用题中，要问一问答案在实际情境中是否合理。一个人不可能有 25 米高，概率不可能是负数，汽车的平均速度也不可能达到每小时 900 千米。这种现实检验只需几秒钟，却能发现一些代价最大的错误。

4. 利用答案的结构

许多结果之间存在一些关系，不用重新解题就能检查。对于根为 $r_1$ 和 $r_2$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，两根之和与两根之积必须满足

对于 $x^2 - 5x + 6 = 0$，根 2 和 3 的和为 5，积为 6，与 $-\frac{-5}{1}$ 和 $\frac{6}{1}$ 相符。其他结构性检查包括对称性、符号和次数：一个 2 次多项式与一个 3 次多项式的乘积必须是 5 次的，有两行相同的矩阵的行列式必须为零，一个概率分布的各概率之和必须为 1。

5. 测试特殊值或简单值

当你的答案是一个表达式或恒等式而不是一个数时，就用方便的值来测试。如果你化简了一个表达式，那么原式和化简后的式子在每个允许的取值处都必须相等。试试 $x = 0$、$x = 1$ 和 $x = 2$；只要其中任何一个不相等，就证明出了错。

导数可以用一个很小的步长进行数值检验。对于 $f(x) = x^3$，导数是 $3x^2$，所以 $f'(2) = 12$。差商 $\frac{2.001^3 - 1.999^3}{0.002} = 12.000001$ 与之非常接近，证实了这个结果。同样的方法也适用于极限，以及用几个矩形估算的积分。

6. 检查单位和量纲

在科学和应用数学中，单位是一种免费的检查手段。面积的单位必须是平方单位，体积必须是立方单位，速度必须是距离除以时间。如果一个面积公式给出的答案单位是米而不是平方米，就说明少了一个因数。在计算的每一行都写上单位，这类错误就会立刻显现出来。

7. 换一种方法解

对于重要的题目，用第二种方法是最有力的检查。用代入法解出的方程组可以再用消元法解一遍；用因式分解法解出的一元二次方程可以用求根公式检查；积分可以与数值估算进行比较。如果两种相互独立的方法得到相同的结果，答案就很可能是对的。

画图提供了一种直观的替代方法。方程的解就是两边图像的交点，多项式的根就是它与 x 轴交点的横坐标。画一张草图，或者使用绘图计算器，一眼就能看出解的个数是否正确、位置是否大致正确。

8. 与分步求解器对照

做完之后，把你的过程与分步工具进行对比，例如方程求解器、因式分解计算器或导数计算器。如果答案不同，不要直接抄工具的答案。找到步骤开始出现分歧的第一行；那一行就藏着你的错误，弄懂它才能避免下次再犯。最常见错误的汇总，参见如何避免粗心的数学错误。

先用成本最低的检查方法。代入和估算只需几秒钟；重新解题要花几分钟。把成本高的检查留给分值高的题目，或者在快速检查未通过时再用。

限时考试中的检查流程

在考试条件下，很少有时间把每道题都重做一遍，所以检查必须有所选择。答题时，把你没把握、计算很长或者对两边做过平方的题目做上标记。做到最后时，先回到这些标记过的题目。对每道题只做一次快速检查，通常是代入或估算，如果没有发现问题就继续下一题。剩下的时间用来重读每道题的题干，确保你回答的正是题目所问的内容，并且符合要求的形式、单位和精确度。这个流程在单位检查时间内能发现最多的错误。

常见问题