真正有效的数学练习策略

练得多不一定练得好

两个学生每周都花五个小时学数学，结果却可能天差地别。一个学生做的是一长串几乎一模一样、自己早已会做的题，感觉很有成效，也提高了在简单内容上的速度。另一个学生把同样的时间花在略高于自己当前水平的题目上，每道题做完立即检查答案，几天后再回头处理错题。第二个学生进步快得多，因为他的练习是刻意的：针对具体的薄弱点，并且反馈迅速。

本指南介绍高效练习的主要要素。它们都不需要特殊的材料；一本课本、往年试卷和一种核对答案的方法就足够了。改变的是你如何选题、如何安排题目顺序，以及每做完一道题之后做什么。

选择难度合适的题目

最有用的题目是那些需要努力才能解出、但不是不假思索就能做出的题。如果每道题都很快做对，说明题目太简单，你大多是在重复。如果大多数题目你根本无从下手，说明题目太难，你应该退回去复习先修内容。一个有用的经验法则是：选择那些你大多数能做对、但其中有几道需要认真思考的题组。

• 每个内容开始时，先做几道常规题，确认掌握了基本方法。
• 尽快转向更难的课本习题、多步骤题目和往年考题。
• 当某种题型变得容易时，就不要再单独练习它，而是把它纳入混合复习。

混合练习与间隔练习

一次只练一种题型，称为分块练习，会让方法变得一目了然：如果一组题全是因式分解，你自然知道要因式分解。考试可不是这样。混合练习，也叫交错练习，把几种题型以随机顺序组合在一起，你必须先判断该用哪种方法。这会让人觉得更难、更慢，而这正是它有效的原因：辨认题型这一步，正是所要训练的能力。

间隔练习带来第二重提升。隔几天再回到某个内容，会迫使你从记忆中提取方法，这比趁着记忆犹新时再练一遍更能巩固它。一个简单的模式是：今天练习新内容，两三天后再练一次，一周后再练一次，考试前再练一次。

每次学习开始时，先做三到五道之前内容的快速题，再开始新内容。这只需十分钟，却能让旧技能保持活力。

变换题目的呈现方式

只以一种形式练习的技能是脆弱的。会解 $3(x - 2) = 12$ 的学生，在同样的思路以分数形式或文字形式出现时，有时就会卡住。每项技能都要用几种形式来练习：

同样的原则处处适用：以公式、表格和图像给出的函数；以角度制和弧度制表示的三角函数；来自原始数据和汇总表格的统计。混合不同的表示方式，能让你应对考试采用的任何形式。

快速获取反馈

把一种方法错误地练习二十遍，错误就会变成习惯。每做完一道题就核对答案，最多每做几道核对一次，而不要等到一长串题全部做完。附有奇数题答案的课本、带评分标准的往年试卷，以及方程求解器、分数计算器和百分比计算器等分步工具，都能提供快速反馈。

答案错误时，先找出你的过程从哪一行开始出错，再继续往下做。把这个错误连同它的类别记在错题本上，例如符号错误、方法错误或审题错误。然后，几天后从头重做这道题。如何检查数学答案中的方法能帮你在没有参考答案的情况下检查自己的作业。

练习提取，而不是识别

重读一道题的解答过程只会带来识别：步骤看起来很眼熟，所以你觉得自己会了。考试要求的是提取：从零开始自己写出步骤。解决办法就是直接练习提取。学完一道例题后，合上书，凭记忆写出解答。制作抽认卡，一面写题目，另一面写第一步。不看笔记，大声讲解一种方法。每一种做法都迫使你的记忆去做它在考试中必须完成的工作。

自己出的小测验尤其有效。每周结束时，围绕本周的内容写五道题，先放在一边，两三天后再做。出题本身就很有用，因为这要求你知道典型的题目是什么样子。

跟踪进步并及时调整

1. 为每次学习做一份简单的记录：内容、题目数量、做对的数量和主要错误。
2. 每周回顾记录。反复出错的内容在优先清单中排得更靠前；现在已能稳定做对的内容则转入混合复习。
3. 偶尔给自己计时。考试中速度很重要，计时能显示哪些内容做得仍然很慢。
4. 每两三周做一次涵盖到目前为止所有内容的混合小测验，检查旧内容是否已经掌握牢固。

数学上的进步常常让人觉得很慢，因为每个新内容都会带来新的困难。记录能让进步变得看得见：一个月前要花十分钟的题，现在只需三分钟；曾经占主导的错误类别也已经逐渐减少。这些证据能保持你的动力。关于练习如何融入考前复习，请参见数学备考。

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