反函数计算器：分步求 f⁻¹(x)

关于反函数计算器

反函数把一个对应法则倒过来。如果 $f$ 把摄氏温度换算成华氏温度，它的反函数就把华氏温度换算回摄氏温度；如果 $f$ 把一个数乘以二再加三，反函数就先减三再除以二。手工求反函数就是交换输入与输出的角色再解一个方程，对一次函数来说很常规，但遇到分式、根式和指数函数时很快就会变得繁琐。

这个计算器可以求一次函数、分式函数、幂函数、根式函数、指数函数、对数函数和基本三角函数的 $f^{-1}(x)$ 。它展示“交换再求解”的步骤，给出反函数的定义域；当 $f$ 不是一一对应时，它会选取一个标准分支并加以说明。每个答案都会在样本点上把 $f$ 与 $f^{-1}$ 复合，进行数值验证。

什么是反函数？

函数 $f$ 的反函数是满足以下条件的函数 $f^{-1}$ ：对 $f$ 定义域中的每个 $x$ ，有 $f^{-1}(f(x)) = x$ ；对 $f$ 值域中的每个 $y$ ，有 $f(f^{-1}(y)) = y$ 。记号 $f^{-1}$ 表示反函数，而不是倒数 $\frac{1}{f}$ 。

只有一一对应的函数才有反函数，因为每个输出必须恰好来自一个输入。在图像上这就是水平线检验：任何一条水平线与曲线的交点都不能超过一个。 $f^{-1}$ 的图像是 $f$ 的图像关于直线 $y = x$ 的对称图形，定义域和值域互换位置。

如何使用反函数计算器

输入关于 $x$ 的函数，例如 (2x + 3)/(x - 1)、x^3 + 1 或 e^x。
点击“求反函数”。
阅读步骤：把 f(x) 写成 y，交换 x 与 y，再解出 y。
留意 f⁻¹ 的定义域，以及计算器所做的分支限制。
利用检验行确认 f 与 f⁻¹ 互相抵消。

公式

定义性质

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

交换再求解

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

定义域与值域互换

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

分式线性函数（默比乌斯变换）的反函数

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

例题详解: (2x + 3)/(x − 1)

例题求 $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ 的反函数。交换之后，先去掉方程 $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ 的分母，再把所有含 $y$ 的项移到同一边，提取公因式 $y$ 。

结果是 $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ 。它的定义域不含 2，因为 $f$ 永远取不到 2：当 $x$ 增大时， $f(x)$ 无限接近水平渐近线 $y = 2$ ，但始终达不到。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

我们对题目的理解

求 f⁻¹，即能撤销 f(x) = (2 x + 3) / (x - 1) 的函数。

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

分步解答

将 f(x) 写成 y
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
两边同乘分母
$y(1x+-1) = 2x+3$
把含 x 的项移到同一边，并提取公因式 x
$x(1y-2) = 3--1y$
两边相除，分离出 x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
已解出 x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
交换 x 和 y，得到反函数
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
f⁻¹ 的定义域就是 f 的值域
$\text{定义域 } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

所用公式

反函数
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

求反函数时，先写成 y = f(x)，按相反顺序逐步撤销各个运算，使 x 单独留在一边，然后交换两个字母。

验算

已验证：在 12 个样本点上 f(f⁻¹(y)) = y。
已验证：在 12 个样本点上 f⁻¹(f(x)) = x。

详细讲解

为什么“交换再求解”是对的

写出 $y = f(x)$ 就描述了图像上所有的点对 $(x, y)$ 。交换两个字母后描述的是对称过去的点对集合，这正是反函数的图像。把交换后的方程解出 $y$ ，就把这个点对集合重新变成了公式。只有当求解这一步得到不止一个答案时，这种方法才会失效，而这恰好说明 $f$ 不是一一对应的。

每类函数都有对应的“撤销”运算：减法撤销加法，除法撤销乘法，开立方撤销立方， $\ln$ 撤销 $e^x$ ， $\log_2$ 撤销 $2^x$ 。求 $x^3 + 1$ 的反函数，就是按相反顺序撤销这些运算：先减去 1，再开立方，得到 $\sqrt[3]{x - 1}$ 。

限制定义域

像 $x^2$ 这样的函数通不过水平线检验，因为 $2$ 和 $-2$ 都对应到 4。要让它有反函数，只能保留定义域的一部分。计算器采用通常的分支 $x \geq 0$ ，得到 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ ，并在答案中注明这个限制。对于 $x^2 + 1$ ，同样的分支给出 $\sqrt{x - 1}$ ，定义域为 $[1, \infty)$ 。

三角函数也按标准方式限制定义域。对于 $\sin x$ ，计算器保留 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ，从而得到定义在 $[-1, 1]$ 上的 $\arcsin x$ 。

答案是如何检验的

求出候选反函数后，引擎会对 $f$ 值域中的若干样本值 $y$ 计算 $f(f^{-1}(y))$ ，要求结果回到 $y$ ；如果不满足，就不给出反函数。它还会计算 $f^{-1}(f(x))$ ：如果只对部分输入回到 $x$ ，说明 $f$ 不是一一对应的，答案会注明所用的分支。这样可以发现单靠代数推导很容易漏掉的符号错误和分支错误。

常见错误

把 $f^{-1}(x)$ 理解成 $\frac{1}{f(x)}$ ；这里的上标表示反函数，而不是倒数。
忘记交换 $x$ 与 $y$ ，只是把 $y = f(x)$ 解出 $x$ ，最后答案还是用 $y$ 表示。
认为 $x^2$ 的反函数是 $\pm\sqrt x$ ；函数只能给出一个输出，所以必须选定分支。
忽视反函数的定义域，它等于原函数的值域。
按原来的顺序撤销运算，而不是按相反顺序。

小贴士

代入一个值检验：如果 $f(2) = 7$ ，那么 $f^{-1}(7)$ 必须等于 2。
先用函数作图计算器画出 $f$ 的图像，做一次水平线检验，再求反函数。
对于一次式之比，先去分母展开，把含 $y$ 的项合并，再提取 $y$ 。
用定义域和值域计算器求出 $f$ 的值域，就得到反函数的定义域。
用复合函数计算器验证 $f(f^{-1}(x))$ 能化简为 $x$ 。

常见问题

怎样求一个函数的反函数？

把 f(x) 写成 y，交换 x 与 y，从新方程中解出 y，把结果记作 f⁻¹(x)。然后写出它的定义域，也就是原函数的值域。

每个函数都有反函数吗？

不是。只有一一对应的函数才有。通不过水平线检验的函数，例如 x² 或 sin x，需要先限制定义域才存在反函数。

对于 x²，计算器选择哪个分支？

它采用 x ≥ 0，因此反函数是算术平方根。答案中会写明这个限制，让你知道用的是哪个分支。

f⁻¹(x) 和 1/f(x) 一样吗？

不一样。上标 −1 表示反函数。倒数 1/f(x) 是另一个函数，通常写成分式或 (f(x))⁻¹。

e^x 的反函数是什么？

是自然对数 ln x，定义域为 x > 0。同理，2^x 的反函数是以 2 为底的对数。

f 与 f⁻¹ 的图像有什么关系？

它们关于直线 y = x 对称，所以一个图像上的点 (a, b) 对应另一个图像上的点 (b, a)。

计算器怎样验证反函数？

它在若干样本点上计算 f(f⁻¹(y))，只有每个值都原样返回时才给出反函数。它还会按另一种顺序复合，以判断是否需要限制分支。

求你的反函数

在上方输入一个函数，即可看到 f⁻¹(x)、它的定义域，以及它确实能撤销 f 的数值验证。

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