多项式函数：次数、端点行为、零点与图像

什么样的函数是多项式

多项式函数是若干项之和，每一项都是一个常数乘以 $x$ 的非负整数次幂：

最高次幂 $n$ 称为次数，它前面的系数 $a_n$ 称为首项系数，$a_0$ 是常数项，也就是图像与 y 轴交点的纵坐标。1 次多项式的图像是直线，2 次的是抛物线，3 次的称为三次函数，4 次的称为四次函数。含有负数次幂或分数次幂的表达式，例如 $\frac{1}{x}$ 或 $\sqrt{x}$，以及分母或指数中含有变量的表达式，都不是多项式。

多项式对每个实数都有定义，它们的图像是光滑、连续不断的曲线，没有尖角、断口或渐近线。这也是它们被广泛用来建模和逼近其他函数的原因之一。

由首项决定的端点行为

当 $x$ 是绝对值很大的正数或负数时，首项压倒其他所有项，所以图像两端的表现与 $a_n x^n$ 相同。只有两件事起作用：次数是偶数还是奇数，以及首项系数是正还是负。

• 偶次、首项系数为正：两端都上升，像 $x^2$ 一样。
• 偶次、首项系数为负：两端都下降，像 $-x^2$ 一样。
• 奇次、首项系数为正：左端下降、右端上升，像 $x^3$ 一样。
• 奇次、首项系数为负：左端上升、右端下降，像 $-x^3$ 一样。

例如，$p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ 是奇次的，且首项系数为负，所以无论其他系数看起来多大，它都向左上升、向右下降。因此，奇次多项式的图像至少与 x 轴相交一次，因为它的两端指向相反的方向。

零点、因式与重数

$p$ 的零点（或根）是满足 $p(c) = 0$ 的值 $c$。零点就是图像与 x 轴交点的横坐标，每个实数零点 $c$ 都对应一个因式 $(x - c)$。因此，因式分解是求零点的主要工具，它利用零乘积性质：乘积为零，当且仅当其中某个因式为零。

如果某个因式重复出现，对应零点的重数就大于一，图像在那里的表现也不同。在奇数重零点处，图像穿过 x 轴；在偶数重零点处，图像与 x 轴相切后折回。重数越高，图像在零点附近越平坦。

$n$ 次多项式最多有 $n$ 个实数零点，最多有 $n - 1$ 个转折点，即图像的峰和谷。三次函数可以有一个或两个转折点，也可以一个都没有，$x^3$ 就是例子。求因式的方法在多项式因式分解指南中有详细介绍。

余数定理与因式定理

用 $(x - c)$ 除多项式 $p(x)$，余数只是一个数，余数定理指出这个数就是 $p(c)$。因式定理随之可得：当且仅当 $p(c) = 0$ 时，$(x - c)$ 是一个因式。

相比之下，$p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$，所以用 $(x - 2)$ 除 $p(x)$ 会得到余数 $-4$，$(x - 2)$ 不是因式。

综合除法

综合除法是一种只用系数来除以 $(x - c)$ 的简便方法。对于例 3，写出 $c = 1$ 以及系数 $1, -2, -5, 6$。

1. 把第一个系数移下来：1。
2. 乘以 $c$，再加到下一个系数上：$1 \times 1 = 1$，$-2 + 1 = -1$。
3. 重复：$-1 \times 1 = -1$，$-5 + (-1) = -6$。
4. 重复：$-6 \times 1 = -6$，$6 + (-6) = 0$。
5. 最后一个数 0 是余数。其余的数 $1, -1, -6$ 是商的系数：$x^2 - x - 6$。

$x$ 的每一次幂都需要占一个位置，所以缺项处要写 0。用 $(x - 2)$ 除 $x^3 - 8$ 时，使用系数 $1, 0, 0, -8$，得到商 $x^2 + 2x + 4$，余数为 0。

综合除法只适用于形如 $x - c$ 的除式。要除以 $2x - 1$，可以先除以 $x - \frac{1}{2}$，再把商除以 2，或者使用长除法。

零点有多少个：代数基本定理

代数基本定理保证：当每个零点按其重数计数时，$n \ge 1$ 次多项式恰好有 $n$ 个复数零点。其中有些可能是实数，有些可能是虚数。当系数都是实数时，虚数零点成对共轭出现，所以如果 $2 + 3i$ 是零点，那么 $2 - 3i$ 也是零点。

这就解释了为什么实系数三次函数总有至少一个实数零点：它的三个零点不可能都是虚数，因为虚数零点是成对出现的。而四次函数则可能没有实数零点，$x^4 + 1$ 就是例子。

当零点无法精确求出时，介值定理可以帮助确定它的位置。对于 $p(x) = x^3 + x - 1$，$p(0) = -1$，$p(1) = 1$。由于多项式图像没有断口，图像必定在 0 和 1 之间的某处穿过零；数值计算表明这个根约为 $0.6823$。

由零点构造多项式

反过来，零点可以确定一个多项式，最多相差一个常数因子。假设一个二次函数的零点为 2 和 $-1$，并且经过点 $(0, 4)$。它一定具有 $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$ 的形式。代入这个点得到 $4 = a(-2)(1)$，所以 $a = -2$，$f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$。展开后检验 $f(0) = 4$、$f(2) = 0$ 和 $f(-1) = 0$，即可确认结果。

描绘多项式图像

1. 求出次数和首项系数，确定端点行为。
2. 因式分解，求出零点及其重数。
3. 标出与 y 轴的交点，即常数项。
4. 根据每个零点的重数，判断图像在该处是穿过还是相切。
5. 用一条光滑曲线连接各点，使它符合端点行为，且转折点不超过 $n - 1$ 个。

这样得到的形状是准确的，但转折点的确切高度需要用微积分来求。把你的草图与绘图计算器的结果进行比较，是建立信心的好方法。

一个应用：容积最大的无盖盒子

一张 10 厘米乘 16 厘米的卡纸，从每个角剪去一个边长为 $x$ 的正方形，再把四边折起，做成一个无盖盒子。它的体积为 $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$。由于每个长度都必须为正，实际的定义域是 $0 < x < 5$。

零点 0、5 和 8 告诉你体积在何处变为零。在它们之间，体积先增大后减小，微积分可以精确找出最大值：$V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$，它在定义域内的 $x = 2$ 处为零。最大盒子的体积为 $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ 立方厘米。求导法则指南介绍了这类导数的求法。

常见错误

• 根据写在最前面的项而不是次数最高的项来判断端点行为。
• 在综合除法中漏掉缺项幂次的零系数。
• 忽略偶数重数，以为每个零点都是穿过点。
• 声称转折点多于 $n - 1$ 个。
• 把零点 $c$ 与因式中的符号弄混：零点 3 对应的因式是 $(x - 3)$。

多项式计算器可以求零点、分解因式和做多项式除法，并显示每一步，你可以用它检查上面的例题。

常见问题