如何逐类求解任意三角形

解三角形是什么意思

每个三角形都有六个元素：三条边和三个角。一般来说，只要知道其中三个且至少包含一条边，三角形就被确定下来，其余三个元素都可以算出。只知道三个角是不够的，因为大小各异的相似三角形拥有相同的角；这种情形有时称为角角角，没有唯一解。

已知元素按照它们在三角形上依次出现的顺序来描述。角边角表示两个角及其夹边；边角边表示两条边及其夹角。六种可能的模式以及各自适用的工具如下：

• 直角三角形再加任意两个其他元素：基本三角比和勾股定理。
• 角角边或角边角：先用内角和，再用正弦定理。
• 边角边：用余弦定理求第三边，再求其余的角。
• 边边边：用余弦定理求各角。
• 边边角：用正弦定理，并检验是零个、一个还是两个三角形。
• 角角角：只确定形状，大小不唯一。

在选择方法之前，务必先画出三角形草图并标出已知元素。大多数错误都源于把边和错误的角配成一对。

直角三角形：正弦、余弦与正切

在直角三角形中，对于锐角 $\theta$，三个基本三角比把这个角与对边、邻边和斜边联系起来。

要求角，就用反三角函数。边长为 3、4、5 的直角三角形中，较小的锐角为 $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$。

两角一边（角角边、角边角）

用 $180^\circ$ 减去已知两角得到第三个角。这样你就知道了所有的角和一条边，正好构成正弦定理所需的一组完整对应：

只要已知两角之和小于 $180^\circ$，这些情形总是恰好有一个解。

两边及其夹角（边角边）

用余弦定理求出已知角的对边，然后再求第二个角。最稳妥的做法是求原来两条边中较短那条所对的角，因为它必然是锐角，用反正弦求出时不会产生歧义。

三边（边边边）

先确认三条边满足三角形不等式：每条边都必须小于另外两边之和。然后使用余弦定理的余弦形式，从最长边所对的角开始：

两边及一个非夹角（边边角）

这就是有歧义的情形。先用正弦定理求未知角，$\sin B = \frac{b\sin A}{a}$，再检查结果：

• 若 $\sin B > 1$，则不存在这样的三角形。
• 若 $\sin B = 1$，则恰有一个直角三角形。
• 若 $\sin B < 1$，就要同时检验 $B$ 和 $180^\circ - B$。凡是能使第三个角为正的，都对应一个有效的三角形。

例如，$A = 30^\circ$、$a = 6$、$b = 10$ 给出 $\sin B = \frac{5}{6}$，所以 $B \approx 56.44^\circ$ 或 $123.56^\circ$。两者都给第三个角留出了空间，因此有两个三角形。正弦定理一文完整地解出了这两个三角形，并讨论了无解和唯一解的情形。

仰角与俯角

许多应用题描述的是从水平方向量起的角。仰角是向上看物体时测得的角；俯角是向下看时测得的角。由于观察者处和物体处的水平线互相平行，从 A 看 B 的俯角等于从 B 看 A 的仰角。

涉及两次观测的问题，例如从地面上两个点仰望同一栋楼的楼顶，需要把一个直角三角形和一个斜三角形结合起来求解，斜三角形部分通常要用到正弦定理。

每个答案的检验清单

• 三个角之和为 $180^\circ$。
• 最长边对着最大角，最短边对着最小角。
• 每条边都小于另外两边之和。
• 用另一条定理重新计算某条边，在舍入误差范围内得到相同的值。
• 只在最后一步按题目要求的精度进行舍入。

三角形解出之后，利用任意两边及其夹角，由 $\frac{1}{2}ab\sin C$ 即可求出面积。余弦定理计算器可以分步求解所有斜三角形的情形，距离公式计算器则可以处理由坐标给出的三角形。

舍入与精度

三角形问题会把多步计算串联起来，所以前面的微小舍入误差可能在最后放大成明显的差异。每个中间值都应保留计算器的完整精度，可以把结果存入存储器，或者至少写出四位有效数字。只对最终答案进行舍入，并按题目要求的精度舍入：角度通常保留一到两位小数，长度则保留合理位数的有效数字。

由于舍入，你给出的三个角之和可能是 $179.9^\circ$ 或 $180.1^\circ$。这并不是方法上的错误。但如果总和偏差达到一度或更多，那就一定出了问题，最常见的是把边和错误的角配成一对，或者漏掉了钝角解。再做一次独立计算，例如用两条定理分别求出最后一条边，是确认答案正确的最可靠方法。

常见问题