统计学

如何计算标准差（样本与总体）

作者 MathSolver Pro Editorial Team · 发布于 2026年10月25日

标准差衡量数据值通常距离其平均数有多远。本指南逐步讲解计算过程，说明什么时候除以 n、什么时候除以 n - 1，并告诉你得到结果后如何解读。

标准差衡量的是什么

平均数告诉你一组数据的中心在哪里，却没有告诉你数据围绕中心聚集得有多紧密。标准差弥补了这一点。标准差小，说明数据都靠近平均数；标准差大，说明数据分散得很开。它的单位与数据相同，所以如果身高的标准差是 5 厘米，就意味着一个典型的身高大约偏离平均值 5 厘米。

计算的逻辑很简单：先量出每个值离平均数有多远，再把这些距离平方，使平均数上方和下方的值不会相互抵消，然后求这些平方的平均值，最后开平方回到原来的单位。如果需要复习平均数本身，可以先阅读平均数、中位数、众数和标准差。

两个公式

标准差有两种版本，取决于你的数据是整个总体，还是从更大的总体中抽取的样本：

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}} \qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

总体标准差 $\sigma$ 除以数据个数 $N$ ，样本标准差 $s$ 除以 $n - 1$ 。根号下的量是方差，记作 $\sigma^2$ 或 $s^2$ 。方差在理论上很有用，但它的单位是平方单位，例如平方厘米，所以通常报告的是标准差。

手算的五个步骤

例 1：五个数值的标准差

数据：6、8、10、12、14。第 1 步，求平均数： $\frac{50}{5} = 10$ 。
第 2 步，用每个值减去平均数： $-4, -2, 0, 2, 4$ 。
第 3 步，把每个离差平方： $16, 4, 0, 4, 16$ 。
第 4 步，把平方相加： $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ 。
第 5 步，相除并开平方。作为总体： $\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$ 。作为样本： $s = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ 。

画一张包含 $x$ 、 $x - \bar{x}$ 和 $(x - \bar{x})^2$ 三列的表格，可以让计算井然有序。一个有用的检验是：第二列的离差之和总是零。如果不是零，说明平均数算错了，后面的一切也都会出错。

为什么样本要除以 n - 1？

处理样本时，你并不知道真实的总体平均数，只能改为计算各值相对于样本平均数的离差。样本平均数按其构造方式，恰好是使该样本离差平方和最小的那个点。因此，相对于它测得的离差，平均而言会比相对于真实平均数的离差略小一些。

除以 $n - 1$ 而不是 $n$ 就修正了这一偏差，使样本方差成为总体方差的无偏估计。这种调整称为贝塞尔校正。也可以从自由度的角度理解：一旦知道了平均数和其中 $n - 1$ 个离差，最后一个离差就被确定了，因为所有离差之和必须为零。只有 $n - 1$ 个离差携带独立的信息。

实际应用中，除非你的数据真正包含了你所关心的群体中的每一个成员，否则都应使用样本公式。例如，当你只关心某一个班级时，这个班每位学生的分数就构成总体。

简便公式与频数表

有一个在代数上等价的公式，可以免去逐个计算离差的麻烦：

\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2

对于例 1 的数据， $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$ ，所以 $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$ ，与前面结果相同。这个简便公式手算很快，但计算机在处理很大或精度很高的数时会避免使用它，因为两个几乎相等的大数相减会损失精度。

例 2：频数表中的数据

一项调查记录了 10 户人家养宠物的数量：数值 1 出现 2 次，2 出现 5 次，3 出现 3 次。
平均数： $\frac{1(2) + 2(5) + 3(3)}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$ 。
加权的离差平方和： $2(1 - 2.1)^2 + 5(2 - 2.1)^2 + 3(3 - 2.1)^2 = 2.42 + 0.05 + 2.43 = 4.9$ 。
作为样本： $s = \sqrt{\frac{4.9}{9}} \approx 0.738$ 。作为总体： $\sigma = \sqrt{\frac{4.9}{10}} = 0.7$ 。

解读结果

对于大致呈钟形正态分布的数据，经验法则为标准差提供了具体的解读：约 68% 的数值落在平均数左右一个标准差以内，约 95% 落在两个标准差以内，约 99.7% 落在三个标准差以内。如果某群成年人的身高平均数为 170 厘米、标准差为 8，那么这群人中大约 95% 的身高在 154 到 186 厘米之间。

对于任何形状的数据，切比雪夫不等式仍然保证至少 75% 的数值落在平均数左右两个标准差以内，至少约 89% 落在三个标准差以内。把单个数值与平均数的距离用标准差的个数来表示，就得到它的z 分数，借助它可以比较在不同尺度上测得的数值。

标准差对数据的变化也有可预测的反应。给每个数值都加上同一个常数，平均数会移动，但标准差不变，因为离散程度没有改变。把每个数值都乘以一个常数，标准差就乘以该常数的绝对值，所以把米换算成厘米时，标准差要乘以 100。

使用计算器或电子表格

科学计算器通常有两个键，总体版本常标为 $\sigma_x$ 或 $\sigma_n$ ，样本版本常标为 $s_x$ 或 $\sigma_{n-1}$ 。在 Google 表格等电子表格软件中，函数名保持英文：STDEV.P 计算总体标准差，STDEV.S 计算样本标准差；较早的 STDEV 函数给出的也是样本值。选错函数是答案对不上的最常见原因。

标准差计算器会同时给出两种版本以及完整的离差表，非常适合检查手算的作业。平均数、中位数和众数计算器补充其他汇总统计量，z 分数计算器则利用标准差把单个数值标准化。

比较不同尺度下的离散程度

当平均数相差很大时，标准差很难直接比较。2 千克的标准差对新生婴儿来说很大，对成年大象来说却微不足道。变异系数用标准差除以平均数来解决这个问题，通常用百分比表示。两项投资的平均年收益率分别为 6% 和 9%，标准差分别为 3 和 9 个百分点，它们的变异系数分别为 50% 和 100%，所以相对于各自的典型收益，第二项投资的波动是第一项的两倍。

常见错误

忘记把离差平方，导致正负值相互抵消为零。
忘记最后开平方，结果报告的是方差。
混用样本公式和总体公式，或者按错了计算器上的键。
在计算离差之前把平均数四舍五入得太粗，使舍入误差不断累积。
把频数表当作每个数值只出现一次来处理。

常见问题

我应该用样本标准差还是总体标准差？

只有当你的数据包含了要描述的群体中的每一个成员时，才使用总体公式。如果数据是用来了解更大群体的样本（这是常见情况），就使用除以 $n - 1$ 的样本公式。

为什么还要对方差开平方？

方差是相对于平均数的离差平方的平均值，标准差是它的平方根。两者包含的信息相同，但标准差使用原始单位，因此更容易解读。

标准差为零意味着什么？

数据集中的每个数值都完全相同，所以没有任何离散。只要有一点点差异，标准差就是正数。

标准差大是坏事吗？

不一定。它只是说明数据比较分散。这是好是坏取决于具体情境：送货时间差异很大是坏事，而在植物育种试验中，差异很大可能正是研究人员希望看到的结果。

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