统计学

概率基础：实用入门

作者 MathSolver Pro Editorial Team · 发布于 2026年10月25日

概率用 0 到 1 之间的数来衡量一个事件发生的可能性有多大。少数几条法则，即对立事件、并事件、独立与非独立事件以及条件概率的法则，就能解决大多数问题；了解经典陷阱则能避免大多数错误。

结果、事件与概率的取值范围

概率从试验开始，例如掷一颗骰子，以及它的样本空间，即所有可能结果构成的集合。掷一次标准骰子，样本空间是 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 。事件是任意一组结果，例如掷出偶数，就是集合 $\{2, 4, 6\}$ 。

任何概率都介于 0 和 1 之间。概率为 0 表示事件不可能发生，为 1 表示事件必然发生，为 0.5 表示事件发生与不发生的可能性相同。概率可以写成分数、小数或百分数，所以 $\frac{1}{4}$ 、0.25 和 25% 表示的是同一个意思。当所有结果的可能性都相同时，一个事件的概率就是一个简单的比值：

P(A) = \frac{\text{事件所含结果数：} A}{\text{结果总数}}

所以掷出偶数的概率是 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ 。掷两颗骰子时，共有 $6 \times 6 = 36$ 种等可能的有序结果，其中六种的点数和为 7，即 (1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2) 和 (6,1)，所以 $P(\text{点数和} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ 。在更大的问题中计数结果，要用到排列与组合中的方法。

对立事件法则

事件 $A$ 的对立事件是所有不属于 $A$ 的结果。由于两者必有一个发生，它们的概率之和为 1：

P(\text{非 } A) = 1 - P(A)

例 1：至少掷出一个六点

把一颗骰子掷四次，至少掷出一个六点的概率是多少？
列举所有至少出现一个六点的情形很麻烦，所以改为处理对立事件：一个六点都没有。
每次掷骰不出现六点的概率为 $\frac{5}{6}$ ，所以四次都不出现六点的概率为 $\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$ 。
$P(\text{至少一个六}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0.518$ 。

只要题目中出现“至少一个”，就先试试对立事件。它几乎总能把冗长的计算变得简短。

加法法则：A 或 B

$A$ 或 $B$ 发生（或两者都发生）的概率，等于两者的概率相加，再减去重叠部分，否则重叠部分会被计算两次：

P(A \text{ 或 } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ 且 } B)

从一副标准的 52 张扑克牌中抽一张，抽到红心或国王的概率是 $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ ，因为红心国王同时属于两组。不可能同时发生的事件，例如一次掷骰既掷出 2 又掷出 5，称为互斥事件。它们的重叠部分为零，所以概率可以直接相加。

乘法法则：A 且 B

如果一个事件的结果不影响另一个事件的概率，例如分别抛两次硬币，这两个事件就是相互独立的。对于独立事件，概率相乘：

P(A \text{ 且 } B) = P(A) \times P(B)

因此，抛两次硬币都是正面的概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 。当事件不独立时，第二个概率必须反映已经发生的情况。不放回地抽两张牌，两张都是 A 的概率为 $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$ ，因为取走一张 A 后，51 张牌中只剩下 3 张 A。

条件概率与贝叶斯定理

条件概率是在 $B$ 已经发生的条件下 $A$ 发生的概率，记作 $P(A \mid B)$ 。知道 $B$ 发生后，样本空间就缩小为 $B$ 本身：

P(A \mid B) = \frac{P(A \text{ 且 } B)}{P(B)}

贝叶斯定理把条件概率反转过来，由 $P(B \mid A)$ 求出 $P(A \mid B)$ 。它最著名的应用说明了为什么医学检测呈阳性未必像听起来那么可怕。

例 2：检测结果呈阳性

某种疾病的患病率为 1%。一种检测能查出 90% 的患者，但也会让 5% 的健康人出现假阳性。
设想有 10,000 人。其中约 100 人患病，其中 90 人检测呈阳性。
在 9,900 名健康人中，5%，即 495 人，检测也呈阳性。
所以共有 585 人检测呈阳性，其中只有 90 人真正患病： $P(\text{患病} \mid \text{阳性}) = \frac{90}{585} \approx 0.154$ 。
尽管检测相当准确，但由于这种病很罕见，阳性结果意味着真正患病的概率只有约 15%。

期望值

一个游戏或随机量的期望值是长期平均结果，求法是把每个结果乘以它的概率再相加：

E(X) = \sum x_i \, P(x_i)

假设一个游戏规定：骰子掷出六点时你赢 10 美元，否则你输 2 美元。期望值为 $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$ ，所以这个游戏是公平的：玩很多次后，你预计会不赢不输。赌场游戏在设计上让玩家的期望值略为负数，因此尽管个别玩家有时会赢，赌场仍能在数以百万计的下注中获利。保险则从另一方利用同样的原理：保险公司收取的保费略多于它预计要支付的理赔。

常见陷阱

赌徒谬误：在公平的轮盘上连续出现五次红色之后，并不意味着“该轮到”黑色了。每次转动都是独立的，所以概率不变。
把有重叠的事件的概率直接相加而不减去重叠部分，这可能得出大于 1 的概率。
把不独立的事件的概率直接相乘。
把 $P(A \mid B)$ 与 $P(B \mid A)$ 混为一谈，就像医学检测例题中那样。
低估巧合的可能性：在仅有 23 人的群体中，有两人生日相同的概率约为 50.7%。

大数定律说明了概率真正承诺的是什么：当一个试验重复很多次时，事件发生的频率会稳定在其概率附近。它对任何短期的结果都不作承诺。概率计算器可以逐步处理单个事件、组合事件和条件事件，排列组合计算器则能计数许多概率问题所需的结果数。

用树状图解多步问题

当试验分阶段进行时，树状图可以记录每一条路径。每个分支标上它的概率，沿一条路径相乘得到整个序列的概率，再把构成所求事件的各条路径相加。

例 3：从袋中摸两次

袋中有 3 个红球和 2 个蓝球，不放回地摸出两个。两个球颜色相同的概率是多少？
先红后红： $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$ 。
先蓝后蓝： $\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$ 。
把两条路径相加： $\frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = 0.4$ 。
检验：两条颜色不同的路径给出 $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{20}$ ，而 $\frac{8}{20} + \frac{12}{20} = 1$ ，所有路径加起来理应如此。

树状图让乘法法则变得直观，并清楚地显示概率在各阶段之间如何变化。它也是建立贝叶斯定理问题最可靠的方法，因为第二阶段的每个分支都是一个条件概率。

常见问题

独立事件和互斥事件有什么区别？

独立事件互不影响对方的概率，例如两次抛硬币。互斥事件不可能同时发生，例如一颗骰子一次既掷出 2 又掷出 5。两个概率都为正的事件不可能既独立又互斥。

概率可以大于 1 吗？

不可以。概率总是介于 0 和 1 之间（包括两个端点）。如果计算结果更大，很可能是重叠部分被算了两次。

博彩赔率如何换算成概率？

赔率比较的是有利结果与不利结果，而概率比较的是有利结果与全部结果。支持某事件的赔率为 a 比 b 时，概率为 a 除以 a + b，所以反对某事件的赔率为 3 比 1，意味着该事件的概率为 1/4。

试验概率和理论概率是一回事吗？

试验概率是实际试验中观察到的比例，理论概率则是根据模型计算出来的。试验次数越多，试验值往往越接近理论值。

降水概率 30% 到底是什么意思？

它的意思是：在与当前条件类似的日子里，预报地点约有 30% 的时候会出现可测量的降水。它并不表示一天中有 30% 的时间在下雨，也不表示 30% 的区域会下雨。

MathSolver Pro Editorial Team

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