z 分数详解（附完整例题）

z 分数衡量的是什么

单看原始分数说明不了多少问题。考试得 85 分听起来不错，但如果其他人都考了 95 分，这个成绩其实很弱。z 分数又称标准分数，它通过衡量一个数值在所属群体中的相对位置来解决这个问题。它回答的只有一个问题：这个数值离平均数有多少个标准差？

这里 $x$ 是数值，$\mu$ 是平均数，$\sigma$ 是标准差。z 分数为正表示数值高于平均数，为负表示低于平均数，为零表示恰好等于平均数。z 分数为 2 表示比平均数高出两个标准差，在大多数数据集中这都是异常高的。如果需要复习标准差本身的计算方法，请参阅如何计算标准差。

逐步计算 z 分数

单位总会相互抵消，因为分子和分母都使用原始单位。正因为如此，z 分数没有单位，可以在完全不同的测量之间进行比较。

比较不同尺度下的结果

z 分数最实用的用途是公平比较。假设一名学生在化学考试中得了 82 分，该考试平均分为 75、标准差为 5；在历史考试中得了 88 分，该考试平均分为 80、标准差为 8。历史分数更高，但哪个成绩更出色呢？

与同学相比，化学成绩更突出：高出平均分 1.4 个标准差，而历史只高出 1.0 个。同样的思路让科学家能够比较不同仪器的测量结果，也让分析师能够在典型数值差异很大的行业之间比较一家公司的表现。

由 z 分数反推原始值

把公式变形，就得到与给定 z 分数对应的原始值：

在平均分为 70、标准差为 10 的测验中，z 分数 $-1.2$ 对应 $70 + (-1.2)(10) = 58$ 分。这种形式在设定分数线时很有用，例如确定学生需要考多少原始分才能进入前 10%，下面的例 4 就展示了这一点。

从 z 分数到百分位数

当数据服从正态分布（即钟形曲线）时，z 分数可以换算成百分位数，也就是低于该值的数值所占的比例。标准正态分布的平均数为 0，标准差为 1，它的累积分布函数记作 $\Phi(z)$，给出的正是这个比例。有几个标志性的数值值得记住：

• $\Phi(0) = 0.5$：平均数位于第 50 百分位数。
• $\Phi(1) \approx 0.8413$，$\Phi(-1) \approx 0.1587$。
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$，所以例 1 中的学生比全班约 93% 的人考得好。
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$，所以例 2 中的学生大约位于第 21 百分位数。
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$，这就是 1.96 出现在 95% 置信区间中的原因。

经验法则概括了钟形曲线：约 68% 的数值落在平均数左右一个标准差以内，约 95% 落在两个标准差以内，约 99.7% 落在三个标准差以内。因此，满足 $|z| > 3$ 的数值很少见，常被当作可能的离群值加以考察。

样本平均数的 z 分数

平均值的波动比单个数值小。如果从平均数为 $\mu$、标准差为 $\sigma$ 的总体中抽取容量为 $n$ 的样本，样本平均数的标准差为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，称为标准误。样本平均数的 z 分数为

例如，如果上面那次测验中有 25 名学生的平均分为 73，那么标准误为 $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$，$z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$。对一名学生来说，高出三分很平常；但对 25 名学生的平均分来说，这就相当不寻常了。这个公式是入门统计学中 z 检验和置信区间的出发点。

使用 z 分数的注意事项

• 只有当数据近似服从正态分布时，才能用 $\Phi$ 把 z 分数换算成百分位数。对于收入这类严重偏态的数据，百分位数必须直接由数据本身得出。
• 已知总体标准差时就使用它，否则用样本标准差作为估计；样本很小时则应改用 t 分布。
• z 分数描述的是在一个群体内部的位置。比较来自能力水平差异很大的不同群体的 z 分数，仍然可能产生误导。
• 保留正负号。z 分数为 $-2$ 和为 $2$ 同样少见，但含义恰好相反。

z 分数计算器可以计算 z 分数、百分位数以及两个数值之间的面积，标准差计算器则先给出你需要的平均数和标准差。

z 分数在实际中的应用

标准化考试的成绩报告常把原始分换算成量表分或百分位数，其背后的思路与 z 分数相同。儿科医生对照生长曲线图跟踪儿童的身高和体重，一些临床工具会直接把这些测量值报告为相对于儿童年龄的 z 分数。骨密度检查报告的是 T 值，它是相对于健康年轻成年人计算的 z 分数。质量工程师会标记测量值偏离目标超过三个标准差的零件，金融分析师则把收益率标准化，以便在同一尺度上比较风险水平不同的基金。

练习题

1. 一组数据的平均数为 50，标准差为 4。求 56 的 z 分数。答案：$z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$。
2. 分数的平均数为 100，标准差为 15。哪个分数满足 $z = -2$？答案：$100 + (-2)(15) = 70$。
3. 数值服从平均数为 500、标准差为 100 的正态分布。低于 650 的数值占多大比例？答案：$z = 1.5$，所以约为 $\Phi(1.5) \approx 0.9332$，即 93%。

常见问题