排列组合计算器：排列数与组合数

关于排列组合计算器

许多计数问题最终都归结为一个判断：选出的元素的顺序是否重要？把选手安排到领奖台上是排列，因为“金-银-铜”与“铜-银-金”不同。为委员会选出三个人是组合，因为同样的三个人无论按什么顺序都组成同一个委员会。

这个计算器涵盖四种标准情形：不允许重复的排列和组合、可重复排列（例如数字密码）以及可重复组合（例如从若干种口味中选几球冰淇淋）。它使用精确的整数运算，所以即使是扑克牌型总数这样非常大的计数，也会完整显示而不会舍入。

什么是排列和组合？

排列是从 $n$ 个不同元素中选出 $r$ 个并排成一列的有序安排。其数目为 $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ ，即 $n!$ 的前 $r$ 个因数之积。组合是不计顺序的选取，其数目为 $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ 。

两者相互联系：每个由 $r$ 个元素组成的组合都可以排成 $r!$ 种顺序，所以 $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ 。计算器用这个恒等式来检验每一个排列数和组合数的答案。

如何使用排列组合计算器

选择要计算的类型：组合、排列、可重复排列或可重复组合。
输入元素总数 n。
输入选取的元素个数 r。
点击“计算”。
查看计数结果、所用公式和约分步骤。

公式

排列数

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

组合数

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

可重复排列

n^r

可重复组合

\binom{n + r - 1}{r}

例题详解: C(10, 3)

例题求 $C(10, 3)$ ，即在不计顺序时从 10 个元素中选出 3 个的方法数。先计算有序的选法： $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ 。

每一组三个元素在这个列表中出现 $3! = 6$ 次，每种顺序各一次，所以 $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ 。验算确认 $120 \times 6 = 720$ 。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

120

我们对题目的理解

组合 ⁿCᵣ（不计顺序）

分步解答

使用组合公式
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
因为不计顺序，所以把排列数除以 r!
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

所用公式

组合 ⁿCᵣ（不计顺序）
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

从 10 个元素中选出 3 个，在不计顺序时共有 120 种选法。

验算

验证：P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720。

详细讲解

为什么阶乘可以约分

写成 $\frac{n!}{(n-r)!}$ 看起来需要很大的数，但大多数因数都能约去。对于 $P(8, 3)$ ，只剩下 $8 \times 7 \times 6 = 336$ ：第一名有八种选择，第二名有七种，第三名有六种。计算器展示的是这种简便算法，而不是计算完整的阶乘。

组合要除去每种选取的 $r!$ 种顺序。正因如此， $C(n, r)$ 总是小于或等于 $P(n, r)$ ，而且 $C(n, r) = C(n, n - r)$ ：选出要拿走的 $r$ 个元素，等同于选出要留下的 $n - r$ 个元素。

可重复的计数

当元素可以重复使用且顺序重要时， $r$ 个位置中的每一个都有 $n$ 种选择，共 $n^r$ 种。一个四位数字密码有 $10^4 = 10{,}000$ 种可能。

当元素可以重复使用但顺序不重要时，用隔板法得到 $\binom{n + r - 1}{r}$ 。从 3 种口味中选 4 球冰淇淋且允许重复，共有 $\binom{6}{4} = 15$ 种选法。在这种模式下， $r$ 可以大于 $n$ 。

大数与边界情况

五张牌的扑克牌型共有 $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ 种，计算器使用整数运算让这类答案保持精确。按照约定 $C(n, 0) = 1$ ，因为什么都不选恰好只有一种方法。

不允许重复时，选出的元素不能多于现有的元素。求 $C(3, 5)$ 会得到一条明确的提示，建议改用可重复模式或更小的 $r$ ，而不是给出一个毫无意义的零。

组合数与杨辉三角

组合数 $C(n, r)$ 构成杨辉三角（又称帕斯卡三角形），其中每个数等于它上方两个数之和： $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ 。这个恒等式有一个计数上的解释。固定某一个元素；每种选取要么包含它，这时还需从其余 $n - 1$ 个元素中再选 $r - 1$ 个，要么不包含它，这时需从其余 $n - 1$ 个元素中选出全部 $r$ 个。

这些数也是二项式展开式 $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ 中的系数，所以被称为二项式系数。把一整行相加得到 $2^n$ ，即含 $n$ 个元素的集合的子集总数，因为每个元素要么在子集中，要么不在。

常见错误

顺序不重要时却用排列，结果多算了 $r!$ 倍。
对密码、名次或座位这类排列问题却用组合。
忘记允许重复会使公式完全改变。
手算完整的阶乘而不先约分，容易出现计算错误。
在元素不能重复的问题中让 r 大于 n。

小贴士

问问自己：“交换两个选出的元素，结果会不同吗？”如果会，就用排列。
手算时利用 $C(n, r) = C(n, n - r)$ 简化计算。
把复杂问题分成几个阶段，再把各阶段的计数相乘。
用计数除以所有结果的总数，就把它变成了概率。
需要求 k 次成功的概率而不是单纯的计数时，使用概率计算器的二项分布模式。
先估算一下：如果选取的数目比对应的排列数还大，那一定出了错。

常见问题

排列和组合有什么区别？

排列计算的是有序的安排，组合计算的是不计顺序的选取。从 10 个元素中选 3 个，有 720 种排列，但只有 120 种组合。

怎样计算组合数？

用 n! ÷ (r!(n − r)!)。实际计算时，把 n! 的前 r 个因数相乘，再除以 r!。对于 C(10, 3)，就是 720 ÷ 6 = 120。

怎样计算排列数？

把 n! 的前 r 个因数相乘：P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336。

五张牌的扑克牌型有多少种？

C(52, 5) = 2,598,960 种，因为拿到牌的先后顺序无关紧要。

“可重复”是什么意思？

每个元素可以被选取不止一次，就像数字密码中的数字。可重复的有序选取共有 nʳ 种；可重复的无序选取共有 C(n + r − 1, r) 种。

为什么 C(n, 0) 等于 1？

什么都不选恰好只有一种方法：空选取。同样的道理也给出 0! = 1。

r 可以大于 n 吗？

只有允许重复时才可以。不允许重复时，计算器会说明选出的元素不能多于现有的元素。

计算你的排列方式数

在上方选择一种计数模式，输入 n 和 r，即可得到带步骤的精确数目。

使用计算器询问 AI 解题器

排列组合计算器