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概率计算器

求单一事件的概率、两个独立事件的概率、B 发生条件下 A 的概率，或 n 次试验中成功 k 次的概率，给出精确分数并展示每一步。

概率可以是小数（0.25）、分数（1/4）或百分数（25%）。

示例

关于概率计算器

概率衡量一个事件发生的可能性，取值从 0（不可能）到 1（必然）。课本上的大多数题目都属于少数几种类型：数出有利结果、组合独立事件、在已知信息的条件下求概率，以及在重复试验中计算成功的次数。这个计算器能处理全部四种情形。

输入可以是整数计数、0.25 这样的小数、1/4 这样的分数，或 25% 这样的百分数。只要可能，答案都会以精确分数给出，同时附上小数和百分数，方便你按照老师或课本要求的形式作答。每种模式还会给出题目通常接着会问的对立事件概率或相关概率。

什么是概率？

当试验的所有结果等可能时，事件 AA 的概率等于 AA 包含的结果数除以结果总数。掷两颗骰子共有 36 种等可能的结果，其中有六种点数和为 7，所以 P(点数和=7)=636=16P(\text{点数和} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16。

概率遵循几条规则：概率介于 0 和 1 之间，AA 不发生的概率是 1−P(A)1 - P(A)，AA 或 BB 发生的概率是 P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A) + P(B) - P(A \cap B)。条件概率和二项分布都直接建立在这些规则之上。

如何使用概率计算器

  1. 选择题型：单一事件、两个独立事件、条件概率或二项分布。
  2. 对于单一事件，输入有利结果数和等可能结果的总数。
  3. 对于独立事件，输入 P(A) 和 P(B)；对于条件概率，输入 P(A 且 B) 和 P(B)。
  4. 对于二项分布问题，输入试验次数 n、成功概率 p、成功次数 k，并选择要求恰好、至多、少于、至少还是多于 k 次。
  5. 点击“计算概率”，查看精确答案、百分数和相应的步骤。

公式

古典概率

P(A)=有利结果数结果总数P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{结果总数}}

独立事件

P(A∩B)=P(A) P(B)P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

条件概率

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

二项分布概率

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

例题详解: 两颗骰子：P(点数和为 7) = 6/36

例题求两颗均匀骰子点数之和为 7 的概率。在 36 种结果中有 6 种有利结果：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2) 和 (6,1)，所以 P=636=16≈0.1667P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667，约为 16.67%。

计算器还给出对立事件的概率 1−16=561 - \frac16 = \frac56，即点数和为其他值的概率，以及有利赔率 6:306 : 30，它把有利结果与不利结果相比，而不是与结果总数相比。

下面的解答由驱动上方计算器的同一计算引擎生成。

最终答案

P(A)=16≈0.16666667P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

我们对题目的理解

单个事件（有利结果数 ÷ 总结果数）

分步解答

  1. 用有利结果数除以等可能结果的总数

    P(A)=636=16≈0.16666667P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

  2. 对立事件：该事件不发生

    P(A′)=1−P(A)=56≈0.83333333P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333

  3. 有利比率（赔率）

    6:306 : 30

所用公式

  • 古典概率

    P(A)=有利结果数总结果数P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}}

  • 对立事件

    P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)

该事件在 36 个等可能结果中的 6 个里发生，所以它的概率是 16.666667%；它不发生的概率是 83.333333%。

详细讲解

独立事件与加法公式

如果知道一个事件发生并不改变另一个事件的概率，这两个事件就是独立的，例如分别抛两次硬币。这时两者都发生的概率等于概率之积。若 P(A)=12P(A) = \frac12，P(B)=0.3P(B) = 0.3，则两者都发生的概率为 0.150.15，至少一个发生的概率为 0.5+0.3−0.15=0.650.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65，恰好一个发生的概率为 0.65−0.15=0.50.65 - 0.15 = 0.5，两者都不发生的概率为 0.5×0.7=0.350.5 \times 0.7 = 0.35。

计算器会检验 P(A∪B)+P(都不发生)=1P(A \cup B) + P(\text{都不发生}) = 1，这是一个有用的合理性检查，因为这两种情况合起来涵盖了所有结果。

条件概率

条件概率把样本空间缩小到 BB 已经发生的那些结果，再看在这个更小的空间里 AA 也发生的频率有多高。如果 12% 的顾客同时购买手机和手机壳，40% 的顾客购买手机，那么 P(手机壳∣手机)=0.120.4=0.3P(\text{手机壳} \mid \text{手机}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3，即买手机的人中有 30% 也买了手机壳。

联合概率永远不会超过 P(B)P(B)，而且 P(B)P(B) 必须为正；出现任一种违反情况，计算器都会报错。请记住，P(A∣B)P(A \mid B) 和 P(B∣A)P(B \mid A) 通常并不相等，贝叶斯定理正是把其中一个转换为另一个的工具。

二项分布概率

二项试验是把 nn 次独立试验重复进行，每次成功的概率都是同一个 pp。恰好成功 kk 次的概率，等于安排这些成功的方法数 (nk)\binom{n}{k} 乘以其中任意一种安排的概率。对于至多、至少、少于或多于 kk 次，计算器会把相应的项相加，并说明加了哪些项。

例如，抛 10 次均匀硬币至少出现 8 次正面的概率是 45+10+11024≈0.0547\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547。计算器还会给出该分布的均值 npnp 和标准差 np(1−p)\sqrt{np(1-p)}。

常见错误

  • 把并不独立的事件的概率直接相乘。
  • 把 P(A)P(A) 和 P(B)P(B) 相加却不减去重叠部分，可能得到大于 1 的结果。
  • 混淆 P(A∣B)P(A \mid B) 与 P(B∣A)P(B \mid A)。
  • 数了并不等可能的结果，例如把两颗骰子的点数和 2 到 12 当作等可能。
  • 混淆赔率和概率；1 : 5 的赔率对应的概率是 16\frac16。

小贴士

  • 遇到“至少一个”的问题时使用对立事件：1−P(一个也没有)1 - P(\text{一个也没有}) 通常更快。
  • 对于规模较小的问题，先列出或画出样本空间再计算。
  • 把概率输入为分数，可以让答案保持精确。
  • 检查每个答案是否介于 0 和 1 之间。
  • 先用排列组合计算器数出结果数，再做除法。

常见问题

怎样计算一个事件的概率？

用有利结果数除以等可能结果的总数。掷两颗骰子点数和为 7 的概率是 6 ÷ 36 = 1/6。

怎样求两个独立事件同时发生的概率？

把它们的概率相乘。若 P(A) = 0.5，P(B) = 0.3，则两者都发生的概率是 0.15。

什么是条件概率？

在 B 已经发生的条件下 A 发生的概率，P(A | B) = P(A 且 B) ÷ P(B)。它只关注 B 发生的那些结果。

什么时候使用二项分布模式？

当试验由固定次数的独立重复试验组成，每次试验只有两种结果且成功概率相同，而你想求成功某个次数的概率时。

可以输入百分数或分数吗？

可以。概率可以输入为小数（0.25）、分数（1/4）或百分数（25%）。单一事件模式中的结果数必须是整数。

赔率和概率有什么区别？

概率把有利结果与全部结果相比；赔率把有利结果与不利结果相比。概率 1/6 对应的赔率是 1 : 5。

二项分布问题中怎样计算“至少”？

选择“P(X ≥ k) 至少 k 次”。计算器会把从 k 到 n 的概率相加，并展示加了哪些项。

算出你的概率

在上方选择题型并输入数字，即可得到带完整步骤的精确概率。

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